Giới hạn, hàm số liên tục và đạo hàm

Giới hạn, hàm số liên tục và đạo hàm là kiến thức lớp 11 làm nền cho toàn bộ chương ứng dụng đạo hàm và tích phân lớp 12. Đề thi tốt nghiệp theo định dạng từ năm 2025 ít khi hỏi riêng giới hạn; bảng đạo hàm thì cần cho hầu hết các câu về hàm số ở cả ba phần, còn phương trình tiếp tuyến và ý nghĩa vật lí của đạo hàm (vận tốc, gia tốc, tốc độ thay đổi) là những dạng có thể gặp trong câu đúng/sai và câu trả lời ngắn. Tính đạo hàm sai một dấu là mất trọn câu khảo sát hàm số, nên phần này cần luyện đến mức "không phải nghĩ".

Kiến thức trọng tâm

Giới hạn của dãy số

• Giới hạn cơ bản: $\lim\dfrac{1}{n^k} = 0$ (⁠$k$ nguyên dương); $\lim q^n = 0$ khi $\lvert q\rvert < 1$⁠; $\lim c = c$⁠.
• Dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$ của phân thức: chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ ở mẫu. Nếu bậc tử bằng bậc mẫu, giới hạn bằng tỉ số hai hệ số cao nhất; bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì giới hạn bằng $0$⁠.
• Dạng $\infty - \infty$ có căn (như $\sqrt{n^2 + 2n} - n$⁠): nhân và chia với biểu thức liên hợp.
• Cấp số nhân lùi vô hạn (⁠$\lvert q\rvert < 1$⁠): $S = u_1 + u_1q + u_1q^2 + \dots = \dfrac{u_1}{1 - q}$⁠.

Giới hạn của hàm số

• $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = L$ khi và chỉ khi $\lim\limits_{x \to x_0^{+}} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^{-}} f(x) = L$⁠.
• Hàm đa thức, phân thức (tại điểm thuộc tập xác định): thay trực tiếp $x = x_0$⁠.
• Dạng $\dfrac{0}{0}$⁠: phân tích tử và mẫu thành nhân tử chung $(x - x_0)$ rồi rút gọn; có căn thì nhân với biểu thức liên hợp.
• Tại vô cực: $\lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{c}{x^k} = 0$⁠; phân thức cùng bậc có giới hạn bằng tỉ số hệ số cao nhất.
• Giới hạn vô cực: $\lim\limits_{x \to x_0^{+}}\dfrac{1}{x - x_0} = +\infty$⁠, $\lim\limits_{x \to x_0^{-}}\dfrac{1}{x - x_0} = -\infty$⁠. Với $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ mà $f(x) \to L \ne 0$ và $g(x) \to 0$⁠: xét dấu của $L$ và dấu của $g(x)$ khi $x$ tiến về $x_0$ từ từng phía.

Hàm số liên tục

• $f$ liên tục tại $x_0$ khi đủ ba điều: $f(x_0)$ xác định, $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại, và hai giá trị đó bằng nhau.
• Hàm đa thức, phân thức, lượng giác, mũ, lôgarit liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
• Nếu $f$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a)\cdot f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $(a; b)$⁠.

Đạo hàm và ý nghĩa

• Ý nghĩa hình học: $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại $M_0(x_0; f(x_0))$⁠. Phương trình tiếp tuyến:

• Ý nghĩa vật lí: chuyển động có phương trình $s = s(t)$ thì vận tốc tức thời $v(t) = s'(t)$⁠, gia tốc tức thời $a(t) = v'(t) = s''(t)$⁠.
• Tốc độ thay đổi: với đại lượng $Q(t)$ bất kì (nhiệt độ, dân số, chi phí), $Q'(t_0)$ cho biết $Q$ tăng (nếu dương) hay giảm (nếu âm) bao nhiêu đơn vị trên một đơn vị thời gian tại thời điểm $t_0$⁠.

Quy tắc và bảng đạo hàm

Quy tắc: $(u \pm v)' = u' \pm v'$⁠; $(uv)' = u'v + uv'$⁠; $(ku)' = ku'$⁠; $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$⁠; hàm hợp $y = f(u(x))$ có $y' = f'(u)\cdot u'(x)$⁠.

Đạo hàm cấp hai: $f''(x) = \left(f'(x)\right)'$⁠. Hàm phân thức bậc nhất có công thức nhanh: $\left(\dfrac{ax + b}{cx + d}\right)' = \dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}$⁠.

Dạng bài thường gặp trong đề thi

Dạng 1: Giới hạn dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp.

1. Phân thức của $n$⁠: chia cả tử và mẫu cho $n^k$ với $k$ là bậc của mẫu, rồi dùng $\lim\dfrac{1}{n^k} = 0$⁠.
2. Hiệu có căn: nhân liên hợp để đưa về phân thức.
3. Tổng vô hạn có công bội không đổi $\lvert q\rvert < 1$⁠: xác định đúng $u_1$ (số hạng đầu tiên của tổng) và $q$⁠, rồi dùng $S = \dfrac{u_1}{1 - q}$⁠.

Xem lời giải

Chia tử và mẫu cho $n^2$⁠:

$$\lim\dfrac{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}{2 + \frac{5}{n^2}} = \dfrac{3}{2}.$$

Xem lời giải

a) Nhân và chia với biểu thức liên hợp:

$$\begin{aligned} & \sqrt{n^2 + 2n} - n \\ ={} & \dfrac{2n}{\sqrt{n^2 + 2n} + n} \\ ={} & \dfrac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1} \to \dfrac{2}{2} = 1. \end{aligned}$$

b) $1{,}3636\ldots = 1 + 0{,}36 + 0{,}0036 + \dots$⁠; phần sau dấu cộng đầu tiên là cấp số nhân lùi vô hạn $u_1 = 0{,}36$⁠, $q = 0{,}01$⁠:

$$\begin{aligned} & 1 + \dfrac{0{,}36}{1 - 0{,}01} = 1 + \dfrac{36}{99} \\ ={} & 1 + \dfrac{4}{11} = \dfrac{15}{11}. \end{aligned}$$

Vậy $a + b = 15 + 11 = 26$⁠.

Xem lời giải

Quãng đường gồm lần rơi đầu $6\,\text{m}$ và các lần nảy lên rồi rơi xuống cùng độ cao $4$⁠; $\dfrac{8}{3}$⁠; $\dfrac{16}{9}$⁠; ... (cấp số nhân lùi vô hạn $u_1 = 4$⁠, $q = \dfrac{2}{3}$⁠):

$$\begin{aligned} S &= 6 + 2\cdot\dfrac{4}{1 - \frac{2}{3}} \\ &= 6 + 24 = 30\,(\text{m}). \end{aligned}$$

Ghi phiếu: 30.

Dạng 2: Giới hạn hàm số

Phương pháp.

1. Thử thay $x = x_0$⁠. Ra một số thì đó là giới hạn; ra $\dfrac{0}{0}$ thì rút gọn nhân tử $(x - x_0)$ (phân tích đa thức hoặc nhân liên hợp).
2. Ra dạng $\dfrac{L}{0}$ với $L \ne 0$⁠: xét giới hạn một bên, kết quả là $+\infty$ hoặc $-\infty$ tùy dấu.
3. $x \to \pm\infty$⁠: chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $x$ ở mẫu.

Xem lời giải

a) Dạng $\dfrac{0}{0}$⁠: $\dfrac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = x - 3 \to -1$⁠.

b) Chia tử và mẫu cho $x$⁠: $\dfrac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \to 2$⁠.

Xem lời giải

Thay $x = 3$ được $\dfrac{0}{0}$⁠. Nhân liên hợp:

$$\begin{aligned} & \dfrac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3} \\ ={} & \dfrac{(x + 1) - 4}{(x - 3)\left(\sqrt{x + 1} + 2\right)} \\ ={} & \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + 2} \to \dfrac{1}{4}. \end{aligned}$$

Xem lời giải

Khi $x \to 1$⁠, tử $2x - 1 \to 1 > 0$ còn mẫu $x - 1 \to 0$⁠.

• $x \to 1^{+}$⁠: $x - 1 > 0$⁠, nên phân thức dương và lớn vô hạn: giới hạn là $+\infty$⁠.
• $x \to 1^{-}$⁠: $x - 1 < 0$⁠, nên giới hạn là $-\infty$⁠.

Hai giới hạn một bên khác nhau nên hàm số không có giới hạn khi $x \to 1$⁠; đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị.

Xem lời giải

$C(x) = 20 + \dfrac{500}{x} \to 20$ khi $x \to +\infty$⁠: in càng nhiều, chi phí trung bình càng gần 20 nghìn đồng (chi phí cố định được chia nhỏ ra), nhưng không bao giờ thấp hơn 20 nghìn đồng.

$C(x) \le 22 \Leftrightarrow \dfrac{500}{x} \le 2 \Leftrightarrow x \ge 250$⁠. Cần in ít nhất 250 cuốn.

Dạng 3: Hàm số liên tục

Phương pháp.

1. Liên tục trên khoảng: hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định; chỉ cần tìm tập xác định.
2. Hàm cho bởi nhiều công thức: tại điểm nối $x_0$⁠, tính giới hạn trái, giới hạn phải và $f(x_0)$⁠; cho cả ba bằng nhau.
3. Chứng minh phương trình có nghiệm: tìm hai số $a$⁠, $b$ mà $f(a)$⁠, $f(b)$ trái dấu (thường thử các số nguyên nhỏ), hàm liên tục trên $[a; b]$⁠.

Xem lời giải

$f$ là phân thức, xác định khi $x^2 - 4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm 2$⁠. Do đó $f$ liên tục trên từng khoảng $(-\infty; -2)$⁠, $(-2; 2)$ và $(2; +\infty)$⁠.

Xem lời giải

$\lim\limits_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim\limits_{x \to 2}(x + 2) = 4$⁠. Hàm số liên tục tại $x = 2$ khi $f(2) = m = 4$⁠.

Xem lời giải

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$⁠. Tính:

$x$	$-2$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$-1$	$1$	$-1$	$3$

$f(-2)f(0) < 0$⁠, $f(0)f(1) < 0$⁠, $f(1)f(2) < 0$ nên mỗi khoảng $(-2; 0)$⁠, $(0; 1)$⁠, $(1; 2)$ chứa ít nhất một nghiệm. Ba khoảng rời nhau nên có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong $(-2; 2)$⁠. (Phương trình bậc ba có không quá ba nghiệm, nên thực ra có đúng ba nghiệm.)

Xem lời giải

Giới hạn phải (nhân liên hợp):

$$\begin{aligned} & \lim_{x \to 1^{+}}\dfrac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} \\ ={} & \lim_{x \to 1^{+}}\dfrac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} = \dfrac{1}{4}. \end{aligned}$$

Giới hạn trái và giá trị tại $1$⁠: $\lim\limits_{x \to 1^{-}} ax = a = f(1)$⁠. Liên tục tại $x = 1$ khi $a = \dfrac{1}{4}$⁠. Ghi phiếu: 0,25.

Dạng 4: Tính đạo hàm

Phương pháp.

1. Xác định dạng của hàm: tổng, tích, thương hay hàm hợp. Với hàm hợp, gọi tên "lớp ngoài" và "lớp trong" $u(x)$⁠.
2. Áp dụng quy tắc tương ứng; với hàm hợp luôn nhân thêm $u'$.
3. Rút gọn, đặt nhân tử chung (như $e^{2x}$⁠) để dễ xét dấu hay giải $y' = 0$⁠.
4. Tính $f'(x_0)$⁠: lấy đạo hàm trước, thay số sau.

Xem lời giải

a) $f'(3) = \lim\limits_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim\limits_{x \to 3}(x + 3) = 6$⁠.

b) $y' = 8x^3 - 6x + 5$⁠.

Xem lời giải

a) $y' = \dfrac{2(x - 3) - (2x + 1)}{(x - 3)^2} = \dfrac{-7}{(x - 3)^2}$ (khớp công thức nhanh $ad - bc = 2\cdot(-3) - 1\cdot 1 = -7$⁠).

b) Lớp trong $u = 3x - 1$⁠, $u' = 3$⁠: $y' = 3\cos(3x - 1)$⁠.

c) Lớp trong $u = x^2$⁠: $y' = 2x\,e^{x^2}$⁠.

d) $y' = \dfrac{(x^2 + 1)'}{x^2 + 1} = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$⁠.

Xem lời giải

Quy tắc tích: $y' = 1\cdot e^{2x} + x\cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)$⁠.

Tiếp tục: $y'' = 2e^{2x}(1 + 2x) + e^{2x}\cdot 2 = e^{2x}(4 + 4x)$⁠.

$y'' = 0 \Leftrightarrow 4 + 4x = 0$ (vì $e^{2x} > 0$⁠) $\Leftrightarrow x = -1$⁠.

Dạng 5: Phương trình tiếp tuyến

Phương pháp.

1. Biết tiếp điểm $x_0$⁠: tính $y_0 = f(x_0)$ và $k = f'(x_0)$⁠, viết $y = k(x - x_0) + y_0$⁠.
2. Biết hệ số góc $k$ (hoặc tiếp tuyến song song với $y = kx + b$⁠, vuông góc với $y = mx + b$ thì $k = -\dfrac{1}{m}$⁠): giải $f'(x_0) = k$ tìm các tiếp điểm, rồi làm như bước 1. Với "song song", loại tiếp tuyến trùng với đường thẳng đã cho.
3. Câu hỏi phụ (giao với trục, diện tích tam giác tạo với hai trục): viết xong tiếp tuyến rồi mới tính.

Xem lời giải

$y' = 2x - 3$⁠, hệ số góc $k = y'(2) = 1$⁠; $y(2) = 4 - 6 = -2$⁠. Tiếp tuyến: $y = 1\cdot(x - 2) - 2$⁠, tức $y = x - 4$⁠.

Xem lời giải

$y(2) = 8 - 8 + 1 = 1$⁠; $y' = 3x^2 - 4x \Rightarrow y'(2) = 4$⁠.

Tiếp tuyến: $y = 4(x - 2) + 1 = 4x - 7$ (đường nét đứt trên hình ở phần Kiến thức trọng tâm). Cho $y = 0$⁠: $x = \dfrac{7}{4} = 1{,}75$⁠. Ghi phiếu: 1,75.

Xem lời giải

$y' = 3x^2 - 6x = 9 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x_0 = -1$ hoặc $x_0 = 3$⁠.

• $x_0 = -1$⁠: $y_0 = -1 - 3 + 2 = -2$⁠, tiếp tuyến $y = 9(x + 1) - 2 = 9x + 7$⁠.
• $x_0 = 3$⁠: $y_0 = 27 - 27 + 2 = 2$⁠, tiếp tuyến $y = 9(x - 3) + 2 = 9x - 25$⁠.

Cả hai đều khác đường thẳng $y = 9x$ nên song song với nó. Tổng $b = 7 + (-25) = -18$⁠. Ghi phiếu: -18.

Dạng 6: Vận tốc, gia tốc, tốc độ thay đổi

Phương pháp.

1. Từ quãng đường (tọa độ) $s(t)$⁠: $v(t) = s'(t)$⁠, $a(t) = v'(t)$⁠. Chú ý đơn vị: $s$ tính bằng mét, $t$ bằng giây thì $v$ là m/s, $a$ là m/s².
2. "Vật dừng lại" hoặc "đổi chiều": $v(t) = 0$⁠. "Vận tốc lớn nhất, nhỏ nhất": xét $v(t)$ như một hàm số (thường là bậc hai, đỉnh tại $a(t) = 0$⁠).
3. Tốc độ (độ lớn vận tốc) là $\lvert v\rvert$⁠; vận tốc âm nghĩa là chuyển động ngược chiều dương.
4. Đại lượng khác (nhiệt độ, dân số, chi phí): $Q'(t_0)$ là tốc độ thay đổi tức thời; dấu âm là đang giảm.

Xem lời giải

$v(t) = s'(t) = 4t + 3$⁠, nên $v(3) = 15\,\text{m/s}$⁠. Gia tốc $a(t) = v'(t) = 4\,\text{m/s}^2$ (không đổi).

Xem lời giải

a) Đúng. $v(t) = s'(t) = 6t^2 - 30t + 24$⁠.

b) Sai. $v(t) = 6(t - 1)(t - 4) = 0 \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = 4$⁠: hai thời điểm.

c) Sai. $a(t) = v'(t) = 12t - 30$⁠, nên $a(4) = 18\,\text{m/s}^2$⁠. Vận tốc bằng $0$ tại $t = 4$ không có nghĩa là gia tốc bằng $0$⁠.

d) Đúng. $v(t)$ là hàm bậc hai có hệ số $6 > 0$⁠, đạt nhỏ nhất tại $t = \dfrac{30}{2\cdot 6} = 2{,}5$ với $v(2{,}5) = 37{,}5 - 75 + 24 = -13{,}5\,\text{m/s}$ (vật đang chuyển động ngược chiều dương).

Xem lời giải

Bóng chạm đất khi $h(t) = 0 \Leftrightarrow 4{,}9t^2 - 19{,}6t - 1{,}5 = 0$⁠. Nghiệm dương:

$$\begin{aligned} t &= \dfrac{19{,}6 + \sqrt{19{,}6^2 + 4\cdot 4{,}9\cdot 1{,}5}}{9{,}8} \\ &\approx 4{,}0751\,(\text{s}). \end{aligned}$$

Vận tốc $v(t) = h'(t) = 19{,}6 - 9{,}8t$⁠, nên $v \approx 19{,}6 - 9{,}8\cdot 4{,}0751 \approx -20{,}34\,(\text{m/s})$⁠. Dấu âm cho biết bóng đang rơi xuống; tốc độ là độ lớn: khoảng $20{,}3\,\text{m/s}$⁠. Ghi phiếu: 20,3.

Xem lời giải

$T'(t) = 70\cdot(-0{,}05)e^{-0{,}05t} = -3{,}5e^{-0{,}05t}$⁠, nên $T'(10) = -3{,}5e^{-0{,}5} \approx -2{,}12$⁠.

Ý nghĩa: tại thời điểm 10 phút, nhiệt độ của cốc nước đang giảm với tốc độ khoảng $2{,}12^\circ\text{C}$ mỗi phút.

Bẫy và lỗi thường gặp

Mẹo làm bài

Tự luyện

1. (Nhận biết) Tính $\lim\dfrac{1 - 2n}{n + 4}$⁠.

Xem đáp án

Chia tử và mẫu cho $n$⁠: $\dfrac{\frac{1}{n} - 2}{1 + \frac{4}{n}} \to -2$⁠.

2. (Nhận biết) Tính $\lim\limits_{x \to -1}\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$⁠.

Xem đáp án

$\dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = x - 1 \to -2$⁠.

3. (Nhận biết) Tính tổng $1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dots$

Xem đáp án

Cấp số nhân lùi vô hạn $u_1 = 1$⁠, $q = \dfrac{1}{3}$⁠: $S = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{3}{2}$⁠.

4. (Nhận biết) Tính đạo hàm của $y = x^3 - 2\sqrt{x}$ trên $(0; +\infty)$⁠.

Xem đáp án

$y' = 3x^2 - \dfrac{2}{2\sqrt{x}} = 3x^2 - \dfrac{1}{\sqrt{x}}$⁠.

5. (Thông hiểu) Tính $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x^2 - 3x}{2x^2 + 1}$ và $\lim\limits_{x \to 1}\dfrac{x^3 - 1}{x - 1}$⁠.

Xem đáp án

Cùng bậc 2: giới hạn thứ nhất bằng $\dfrac{1}{2}$⁠. Giới hạn thứ hai: $\dfrac{x^3 - 1}{x - 1} = x^2 + x + 1 \to 3$⁠.

6. (Thông hiểu) Tính đạo hàm cấp hai của $y = \cos 2x$⁠.

Xem đáp án

$y' = -2\sin 2x$⁠; $y'' = -4\cos 2x$⁠.

7. (Thông hiểu) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $y = e^x$ tại điểm có hoành độ $0$⁠.

Xem đáp án

$y(0) = 1$⁠, $y'(0) = e^0 = 1$⁠. Tiếp tuyến: $y = x + 1$⁠.

8. (Vận dụng, phần III) Tính hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ tại điểm có hoành độ $2$⁠.

Xem đáp án

$y' = \dfrac{2\cdot(-1) - 1\cdot 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{-3}{(x - 1)^2}$⁠, nên $y'(2) = -3$⁠. Ghi phiếu: -3.

9. (Vận dụng, phần III) Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 2t$ (mét), $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc lớn nhất của chất điểm (m/s).

Xem đáp án

$v(t) = -3t^2 + 12t + 2$ là hàm bậc hai có hệ số $-3 < 0$⁠, lớn nhất tại $t = 2$ (khi $a(t) = -6t + 12 = 0$⁠): $v(2) = -12 + 24 + 2 = 14$⁠. Ghi phiếu: 14.

10. (Vận dụng) Số thập phân $0{,}272727\ldots$ bằng phân số tối giản nào?

Xem đáp án

$0{,}27 + 0{,}0027 + \dots$ là cấp số nhân lùi vô hạn $u_1 = 0{,}27$⁠, $q = 0{,}01$⁠: $S = \dfrac{0{,}27}{0{,}99} = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$⁠.