Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Mục lục (5 phần)

Hàm số mũ và hàm số lôgarit là kiến thức lớp 11. Trong đề thi tốt nghiệp theo định dạng từ năm 2025, chủ đề này thường có khoảng 1 câu ở phần I — biến đổi lôgarit, tập xác định, phương trình hoặc bất phương trình — và có thể xuất hiện trong bài toán thực tế ở phần II, III: lãi suất, tăng dân số, thuốc đào thải khỏi cơ thể, phân rã phóng xạ, độ pH, độ to của âm, độ lớn động đất. Hai điều cần nhớ nhất: điều kiện xác định của lôgarit và chiều bất đẳng thức phụ thuộc vào cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn $1$ ⁠.

Kiến thức trọng tâm

Lũy thừa

Với $a > 0$ ⁠, $b > 0$ và $\alpha$ ⁠, $\beta$ là các số thực:

Quy tắc	Công thức
Nhân, chia cùng cơ số	${a^{\alpha}\cdot a^{\beta} = a^{\alpha + \beta}}$ ⁠; ${\dfrac{a^{\alpha}}{a^{\beta}} = a^{\alpha - \beta}}$
Lũy thừa của lũy thừa	${\left(a^{\alpha}\right)^{\beta} = a^{\alpha\beta}}$
Lũy thừa của tích, thương	${(ab)^{\alpha} = a^{\alpha}b^{\alpha}}$ ⁠; ${\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\alpha} = \dfrac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}}$
Số mũ hữu tỉ	${a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}}$ ⁠; ${a^0 = 1}$ ⁠; ${a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}}$

Lũy thừa với số mũ nguyên dương xác định với mọi cơ số; số mũ $0$ hoặc nguyên âm cần cơ số khác $0$ ⁠; số mũ không nguyên (hữu tỉ, thực) chỉ xét với cơ số dương.
So sánh: nếu $a > 1$ thì $a^{\alpha} > a^{\beta} \Leftrightarrow \alpha > \beta$ ⁠; nếu $0 < a < 1$ thì $a^{\alpha} > a^{\beta} \Leftrightarrow \alpha < \beta$ ⁠.

Lôgarit

Với $0 < a \ne 1$ và $b > 0$ ⁠: $\log_a b = \alpha \Leftrightarrow a^{\alpha} = b$ ⁠. Kí hiệu $\log b = \lg b = \log_{10} b$ (lôgarit thập phân), $\ln b = \log_e b$ (lôgarit tự nhiên, $e \approx 2{,}718$ ⁠).

Tính chất (với $0 < a \ne 1$ ⁠; $b, c > 0$ ⁠)	Công thức
Giá trị đặc biệt	${\log_a 1 = 0}$ ⁠; ${\log_a a = 1}$ ⁠; ${\log_a a^{\alpha} = \alpha}$ ⁠; ${a^{\log_a b} = b}$
Lôgarit của tích, thương	${\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c}$ ⁠; ${\log_a\dfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c}$
Lôgarit của lũy thừa	${\log_a b^{\alpha} = \alpha\log_a b}$ ⁠; ${\log_{a^{\beta}} b = \dfrac{1}{\beta}\log_a b}$ (⁠ $\beta \ne 0$ ⁠)
Đổi cơ số (⁠ $0 < c \ne 1$ ⁠)	${\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}}$ ⁠; ${\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}}$ (⁠ $b \ne 1$ ⁠)

Tính chất	$y = a^x$ $(0 < a \ne 1)$	$y = \log_a x$ $(0 < a \ne 1)$
Tập xác định	$\mathbb{R}$	$(0; +\infty)$
Tập giá trị	$(0; +\infty)$	$\mathbb{R}$
Tính đơn điệu	Đồng biến nếu $a > 1$ ⁠, nghịch biến nếu $0 < a < 1$	Như hàm mũ cùng cơ số
Điểm đặc biệt	Đồ thị đi qua $(0; 1)$ và $(1; a)$	Đồ thị đi qua $(1; 0)$ và $(a; 1)$
Tiệm cận	Tiệm cận ngang $y = 0$	Tiệm cận đứng $x = 0$

Đồ thị

y = 2^x

và

y = \log_2 x

đối xứng nhau qua đường thẳng

y = x

⁠.

Cơ số

\dfrac{1}{2} < 1

— cả

y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x

và

y = \log_{\frac{1}{2}} x

đều nghịch biến, hai đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng

y = x

(ví dụ hai điểm

(-1; 2)

và

(2; -1)

⁠).

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Dạng	Cách giải
$a^x = b$	Có nghiệm khi $b > 0$ ⁠: $x = \log_a b$ ⁠; vô nghiệm khi $b \le 0$
$a^{f(x)} = a^{g(x)}$	$f(x) = g(x)$
$\log_a x = b$	$x = a^b$
$\log_a f(x) = \log_a g(x)$	$f(x) = g(x) > 0$
Bất phương trình	$a > 1$ ⁠: giữ chiều; $0 < a < 1$ ⁠: đổi chiều; luôn kèm điều kiện xác định của lôgarit

Các cách biến đổi thường dùng: đưa về cùng cơ số; lấy lôgarit hai vế; dùng quy tắc tích, thương để gộp các lôgarit. Đặt ẩn phụ $t = a^x$ (điều kiện $t > 0$ ⁠) hoặc $t = \log_a x$ là cách mở rộng: chương trình 2018 chỉ yêu cầu giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit ở dạng đơn giản, nên dạng cần đặt ẩn phụ ít khả năng xuất hiện trong đề tốt nghiệp.

Mô hình thực tế hay gặp

Mô hình	Công thức
Tăng trưởng theo tỉ lệ $r$ mỗi kì	$S = A(1 + r)^n$
Tăng trưởng liên tục	$S = Ae^{rt}$
Phân rã với chu kì bán rã $T$	$m(t) = m_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$
Độ pH	$\text{pH} = -\log\left[\text{H}^+\right]$
Mức cường độ âm (dB)	$L = 10\log\dfrac{I}{I_0}$

Dạng bài thường gặp trong đề thi

Dạng	Thường gặp ở	Mức độ hay hỏi
1. Biến đổi lũy thừa, lôgarit	Phần I	Nhận biết, thông hiểu
2. Tập xác định, tính đơn điệu, đồ thị	Phần I	Nhận biết, thông hiểu
3. Phương trình mũ	Phần I, III	Thông hiểu, vận dụng
4. Phương trình lôgarit	Phần I, III	Thông hiểu, vận dụng
5. Bất phương trình mũ, lôgarit	Phần I, III	Thông hiểu, vận dụng
6. Bài toán thực tế	Phần II, III	Vận dụng

Dạng 1: Biến đổi lũy thừa, lôgarit

Phương pháp.

Lũy thừa: viết mọi căn thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ, rồi cộng, trừ số mũ.
Lôgarit: phân tích số dưới dấu lôgarit thành tích các lũy thừa (ví dụ $72 = 2^3\cdot 3^2$ ⁠), tách bằng quy tắc tích, thương, lũy thừa.
Khác cơ số: đổi về một cơ số chung (thường là cơ số đề cho sẵn giá trị, như $\log_2 3 = a$ ⁠).

Xem lời giải

a) $P = a^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4}} = a^1 = a$ ⁠.

b) $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$ ⁠; $\log_9 3 = \dfrac{1}{2}$ (vì $9^{1/2} = 3$ ⁠). Vậy $A = 3 + 2\cdot\dfrac{1}{2} = 4$ ⁠.

Xem lời giải

Đổi về cơ số $2$ ⁠, với $72 = 2^3\cdot 3^2$ và $6 = 2\cdot 3$ ⁠:

\begin{aligned} \log_6 72 &= \dfrac{\log_2 72}{\log_2 6} \\ &= \dfrac{3 + 2\log_2 3}{1 + \log_2 3} = \dfrac{3 + 2a}{1 + a}. \end{aligned}

Xem lời giải

$\log_a\left(a^2b^3\right) = 2 + 3\log_a b = 2 + 6 = 8$ ⁠.

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ nên $\log_{\sqrt{a}} b = 2\log_a b = 4$ ⁠.

Vậy $P = 8 - 4 = 4$ ⁠. (Kiểm tra bằng số: $a = 3$ ⁠, $b = 9$ cho $\log_3(9\cdot 729) - \log_{\sqrt{3}} 9 = 8 - 4 = 4$ ⁠.)

Dạng 2: Tập xác định, tính đơn điệu, đồ thị

Phương pháp.

Tập xác định của $y = \log_a f(x)$ ⁠: giải $f(x) > 0$ (và điều kiện cơ số nếu cơ số chứa $x$ ⁠). Hàm mũ $y = a^{f(x)}$ xác định khi $f(x)$ xác định.
Đơn điệu: chỉ cần so sánh cơ số với $1$ ⁠. Cơ số dạng $\dfrac{2}{3}$ ⁠, $\dfrac{\pi}{4}$ ⁠, $\dfrac{1}{e}$ ⁠, $0{,}8$ đều nhỏ hơn $1$ ⁠; còn $\sqrt{2}$ ⁠, $\dfrac{e}{2}$ ⁠, $\dfrac{\pi}{3}$ lớn hơn $1$ ⁠.
So sánh hai số cùng cơ số: dùng tính đơn điệu. Đọc đồ thị $y = a^x$ ⁠: giao với đường thẳng $x = 1$ có tung độ đúng bằng $a$ ⁠.

Xem lời giải

Hàm mũ và hàm lôgarit nghịch biến khi cơ số thuộc $(0; 1)$ ⁠. Cơ số $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{1}{2}$ nhỏ hơn $1$ ⁠; cơ số $3$ và $e$ lớn hơn $1$ ⁠.

Vậy hai hàm nghịch biến là $y = \left(\dfrac{2}{3}\right)^x$ và $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ ⁠.

Xem lời giải

a) $x^2 - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 3) > 0 \Leftrightarrow x < 1$ hoặc $x > 3$ ⁠. Tập xác định $D = (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$ ⁠.

b) Cơ số $0{,}5 < 1$ nên $y = \log_{0{,}5} x$ nghịch biến; $3 < 5$ nên $\log_{0{,}5} 3 > \log_{0{,}5} 5$ ⁠.

Xem lời giải

a) Đúng. Hàm số xác định khi $x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > -3$ ⁠.

b) Sai. Cơ số $4 > 1$ nên hàm số đồng biến trên $(-3; +\infty)$ ⁠.

c) Đúng. $f(1) = \log_4 4 = 1$ ⁠.

d) Đúng. $f(x) \le 2 \Leftrightarrow x + 3 \le 4^2 = 16$ (giữ chiều vì $4 > 1$ ⁠) $\Leftrightarrow x \le 13$ ⁠. Kết hợp điều kiện: $-3 < x \le 13$ ⁠, các nghiệm nguyên là $-2$ ⁠; $-1$ ⁠; $\ldots$ ⁠; $13$ — đúng 16 số (không tính $-3$ vì tại đó hàm số không xác định).

Xem lời giải

Đồ thị $y = c^x$ đi xuống (hàm nghịch biến) nên $0 < c < 1$ ⁠. Hai đồ thị còn lại đi lên nên $a > 1$ ⁠, $b > 1$ ⁠.

Kẻ đường thẳng $x = 1$ ⁠: nó cắt các đồ thị tại điểm có tung độ đúng bằng $a$ ⁠, $b$ ⁠, $c$ ⁠. Trên hình, giao điểm với $y = a^x$ cao hơn giao điểm với $y = b^x$ ⁠, nên $a > b$ ⁠.

Vậy $c < b < a$ ⁠.

Dạng 3: Phương trình mũ

Phương pháp.

Đưa hai vế về cùng cơ số: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$ ⁠.
(Mở rộng) Có $a^{2x}$ và $a^x$ (như $4^x$ và $2^x$ ⁠): đặt $t = a^x > 0$ ⁠, giải phương trình bậc hai theo $t$ ⁠, loại nghiệm $t \le 0$ ⁠.
Hai cơ số không đưa được về nhau (như $2$ và $3$ ⁠): lấy lôgarit hai vế.

Xem lời giải

$3^{x^2 - 2x} = 3^3 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$ ⁠.

Xem lời giải

$4^x = \left(2^x\right)^2$ và $3\cdot 2^{x + 1} = 6\cdot 2^x$ ⁠. Đặt $t = 2^x > 0$ ⁠:

\begin{aligned} & t^2 - 6t + 8 = 0 \\ \Leftrightarrow{} & (t - 2)(t - 4) = 0. \end{aligned}

Được $t = 2$ hoặc $t = 4$ ⁠, cả hai giá trị đều dương. $2^x = 2 \Leftrightarrow x = 1$ ⁠; $2^x = 4 \Leftrightarrow x = 2$ ⁠. Tập nghiệm $\{1; 2\}$ ⁠.

Xem lời giải

Lấy lôgarit tự nhiên hai vế (hai vế đều dương):

\begin{aligned} x\ln 2 &= (x - 1)\ln 3 \\ x(\ln 3 - \ln 2) &= \ln 3 \end{aligned}

x = \dfrac{\ln 3}{\ln 3 - \ln 2} \approx 2{,}7095.

Làm tròn đến hàng phần trăm: 2,71.

Dạng 4: Phương trình lôgarit

Phương pháp.

Viết điều kiện xác định cho từng lôgarit.
$\log_a f(x) = b \Leftrightarrow f(x) = a^b$ ⁠. Nhiều lôgarit cùng cơ số: gộp bằng quy tắc tích, thương rồi đưa về dạng trên.
(Mở rộng) Có $\log_a^2 x$ và $\log_a x$ ⁠: đặt $t = \log_a x$ (không cần điều kiện cho $t$ ⁠), giải theo $t$ rồi suy ra $x = a^t$ ⁠.
Đối chiếu nghiệm với điều kiện ban đầu (không phải điều kiện của biểu thức sau khi gộp).

Xem lời giải

Điều kiện $x > 1$ ⁠. Phương trình tương đương $x - 1 = 5^2 = 25 \Leftrightarrow x = 26$ (thỏa điều kiện).

Xem lời giải

Điều kiện $x - 1 > 0$ và $x + 1 > 0$ ⁠, tức $x > 1$ ⁠. Phương trình tương đương

\begin{aligned} & \log_2\left[(x - 1)(x + 1)\right] = 3 \\ \Leftrightarrow{} & x^2 - 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3. \end{aligned}

Kết hợp điều kiện $x > 1$ ⁠: chỉ nhận $x = 3$ ⁠.

Xem lời giải

Điều kiện $x > 0$ ⁠. Đặt $t = \log_2 x$ ⁠: $t^2 - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ hoặc $t = 3$ ⁠.

$\log_2 x = 2 \Leftrightarrow x = 4$ ⁠; $\log_2 x = 3 \Leftrightarrow x = 8$ ⁠. Cả hai thỏa điều kiện, tổng các nghiệm là $12$ ⁠. Ghi phiếu: 12.

Chú ý: $\log_2^2 x$ nghĩa là $\left(\log_2 x\right)^2$ ⁠, khác với $\log_2 x^2 = 2\log_2\lvert x\rvert$ ⁠.

Dạng 5: Bất phương trình mũ, lôgarit

Phương pháp.

Viết điều kiện xác định (với lôgarit).
Đưa hai vế về cùng cơ số $a$ ⁠.
So sánh cơ số với $1$ ⁠: $a > 1$ giữ chiều, $0 < a < 1$ đổi chiều khi bỏ cơ số.
Giao tập nghiệm vừa tìm với điều kiện; bài hỏi "số nghiệm nguyên" thì đếm các số nguyên trong tập nghiệm cuối cùng.

Xem lời giải

$2^{x + 1} \ge 2^4 \Leftrightarrow x + 1 \ge 4$ (cơ số $2 > 1$ ⁠, giữ chiều) $\Leftrightarrow x \ge 3$ ⁠. Tập nghiệm $[3; +\infty)$ ⁠.

Xem lời giải

Điều kiện $3x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{2}{3}$ ⁠. Cơ số $\dfrac{1}{4} < 1$ nên đổi chiều:

3x - 2 \le \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1} = 4 \Leftrightarrow x \le 2.

Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là $\left(\dfrac{2}{3}; 2\right]$ ⁠.

Xem lời giải

$\dfrac{1}{27} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3$ ⁠. Cơ số $\dfrac{1}{3} < 1$ nên đổi chiều:

\begin{aligned} & x^2 - 2x \le 3 \\ \Leftrightarrow{} & x^2 - 2x - 3 \le 0 \\ \Leftrightarrow{} & -1 \le x \le 3. \end{aligned}

Các nghiệm nguyên: $-1$ ⁠; $0$ ⁠; $1$ ⁠; $2$ ⁠; $3$ ⁠. Ghi phiếu: 5.

Dạng 6: Bài toán thực tế

Phương pháp.

Xác định mô hình (tăng theo tỉ lệ, phân rã, pH, decibel...) và ý nghĩa từng đại lượng, đặc biệt thời điểm ban đầu $t = 0$ ⁠.
Câu hỏi "sau bao lâu", "khi nào đạt mức": đưa về phương trình hoặc bất phương trình mũ rồi lấy lôgarit.
Câu hỏi "gấp bao nhiêu lần" với thang lôgarit (pH, decibel, Richter): lấy hiệu hai giá trị rồi đổi ngược $10^{\text{hiệu}}$ ⁠.
Làm tròn theo yêu cầu, và với "số năm/số giờ nguyên ít nhất" thì lấy số nguyên ngay sau kết quả.

Xem lời giải

$L_2 - L_1 = 10\log\dfrac{20I}{I_0} - 10\log\dfrac{I}{I_0} = 10\log 20 \approx 13{,}01$ ⁠. Mức cường độ âm tăng khoảng 13 dB.

Xem lời giải

a) Đúng. $m(0) = 400\cdot 0{,}8^0 = 400$ ⁠.

b) Đúng. $\dfrac{m(t + 1)}{m(t)} = 0{,}8$ ⁠, tức mỗi giờ còn $80\%$ ⁠, giảm $20\%$ ⁠.

c) Sai. $m(2) = 400\cdot 0{,}64 = 256\,(\text{mg})$ ⁠; $320\,\text{mg}$ là lượng thuốc sau 1 giờ.

d) Sai. $m(4) = 400\cdot 0{,}8^4 = 163{,}84 > 150$ ⁠. Muốn $m(t) < 150$ cần $0{,}8^t < 0{,}375 \Leftrightarrow t > \log_{0{,}8} 0{,}375 \approx 4{,}4$ (giờ) — nhớ đổi chiều vì cơ số $0{,}8 < 1$ ⁠.

Xem lời giải

a) Đúng. $m(8) = 80\cdot\dfrac{1}{2} = 40$ ⁠.

b) Sai. 24 ngày là 3 chu kì bán rã: $m(24) = 80\cdot\dfrac{1}{8} = 10\,(\text{g})$ ⁠.

c) Sai. Khối lượng giảm theo hàm mũ, không giảm đều theo thời gian: $m(4) = 80\cdot 2^{-\frac{1}{2}} = 40\sqrt{2} \approx 56{,}6\,(\text{g})$ ⁠.

d) Đúng. $m(t) < 8 \Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}} < \dfrac{1}{10} \Leftrightarrow \dfrac{t}{8} > \log_2 10$ (đổi chiều vì cơ số $\dfrac{1}{2} < 1$ ⁠), tức $t > 8\log_2 10 \approx 26{,}6$ ngày.

Xem lời giải

\begin{aligned} & 1{,}5\cdot 1{,}012^n > 1{,}7 \\ \Leftrightarrow{} & 1{,}012^n > \dfrac{17}{15} \\ \Leftrightarrow{} & n > \log_{1{,}012}\dfrac{17}{15} \approx 10{,}49. \end{aligned}

Số nguyên nhỏ nhất là $n = 11$ (kiểm tra: $1{,}5\cdot 1{,}012^{10} \approx 1{,}690$ ⁠; $1{,}5\cdot 1{,}012^{11} \approx 1{,}710$ ⁠). Năm cần tìm là $2025 + 11 = 2036$ ⁠. Ghi phiếu: 2036.

Xem lời giải

\begin{aligned} & \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5730}} = 0{,}75 \\ \Leftrightarrow{} & \dfrac{t}{5730} = \log_{\frac{1}{2}} 0{,}75 \\ \Leftrightarrow{} & t = 5730\cdot\dfrac{\ln 0{,}75}{\ln 0{,}5} \approx 2378{,}2. \end{aligned}

Mẫu gỗ khoảng $2378$ năm tuổi. Ghi phiếu: 2378.

Bẫy và lỗi thường gặp

Chú ý

Quên điều kiện xác định: biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương; cơ số phải dương và khác $1$ ⁠.
Bất phương trình với cơ số nhỏ hơn $1$ mà không đổi chiều (ví dụ $\log_{\frac{1}{3}}$ ⁠, $0{,}8^t$ ⁠, $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ ⁠).
Viết sai quy tắc: $\log_a(b + c) \ne \log_a b + \log_a c$ ⁠; $\log_a b\cdot\log_a c \ne \log_a(bc)$ ⁠; $\dfrac{\log_a b}{\log_a c} \ne \log_a\dfrac{b}{c}$ ⁠.
Đặt $t = 2^x$ nhưng không loại nghiệm $t \le 0$ ⁠.
Gộp $\log_2(x - 1) + \log_2(x + 1)$ thành $\log_2(x^2 - 1)$ rồi lấy điều kiện $x^2 - 1 > 0$ (rộng hơn điều kiện ban đầu $x > 1$ ⁠), dẫn tới nhận thừa nghiệm $x = -3$ ⁠.
Nhầm $\log_2^2 x$ (bình phương của lôgarit) với $\log_2 x^2$ ⁠.
Chia hai vế bất phương trình cho $\ln 0{,}88 < 0$ mà quên đổi chiều.

Mẹo làm bài

Tự luyện

(Nhận biết) Tính $\log_2 32 + \log_3\dfrac{1}{9}$ ⁠.

Xem đáp án

$5 + (-2) = 3$ ⁠.

(Nhận biết) Tìm tập xác định của hàm số $y = \log_3(4 - x^2)$ ⁠.

Xem đáp án

$4 - x^2 > 0 \Leftrightarrow -2 < x < 2$ ⁠. Tập xác định $(-2; 2)$ ⁠.

(Nhận biết) Giải phương trình $5^{x - 1} = 125$ ⁠.

Xem đáp án

$5^{x - 1} = 5^3 \Leftrightarrow x = 4$ ⁠.

(Thông hiểu) So sánh $0{,}7^{\sqrt{2}}$ và $0{,}7^{1{,}4}$ ⁠.

Xem đáp án

Cơ số $0{,}7 < 1$ nên hàm $y = 0{,}7^x$ nghịch biến; $\sqrt{2} \approx 1{,}414 > 1{,}4$ nên $0{,}7^{\sqrt{2}} < 0{,}7^{1{,}4}$ ⁠.

(Thông hiểu) Tính $\log_2 5\cdot\log_5 8$ ⁠.

Xem đáp án

Đổi cơ số: $\log_2 5\cdot\dfrac{\log_2 8}{\log_2 5} = \log_2 8 = 3$ ⁠.

(Thông hiểu) Giải bất phương trình $\log_5(3 - x) < 1$ ⁠.

Xem đáp án

Điều kiện $3 - x > 0 \Leftrightarrow x < 3$ ⁠. Cơ số $5 > 1$ nên giữ chiều: $3 - x < 5 \Leftrightarrow x > -2$ ⁠. Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là $(-2; 3)$ ⁠.

(Thông hiểu, mở rộng) Giải phương trình $9^x - 4\cdot 3^x + 3 = 0$ ⁠.

Xem đáp án

Đặt $t = 3^x > 0$ ⁠: $t^2 - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = 3$ ⁠, nên $x = 0$ hoặc $x = 1$ ⁠.

(Vận dụng thực tế) Độ lớn của động đất theo thang Richter là $M = \log\dfrac{A}{A_0}$ (⁠ $A$ ⁠: biên độ rung chấn, $A_0$ ⁠: biên độ chuẩn). Biên độ của trận động đất $7{,}2$ độ gấp khoảng bao nhiêu lần trận $5{,}9$ độ?

Xem đáp án

$\dfrac{A_1}{A_2} = 10^{7{,}2 - 5{,}9} = 10^{1{,}3} \approx 20$ lần.

(Vận dụng, phần III) Một dung dịch có nồng độ ion $\text{H}^+$ là $2\cdot 10^{-4}$ mol/L. Tính pH của dung dịch, biết $\text{pH} = -\log\left[\text{H}^+\right]$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án

$\text{pH} = -\log\left(2\cdot 10^{-4}\right) = 4 - \log 2 \approx 3{,}699$ ⁠. Làm tròn: 3,70.

(Vận dụng thực tế, phần III) Số vi khuẩn trong một môi trường nuôi cấy sau $t$ giờ là $N(t) = 500e^{0{,}3t}$ ⁠. Sau bao nhiêu giờ thì số vi khuẩn đạt 4000 con (làm tròn đến hàng phần mười)?

Xem đáp án

$500e^{0{,}3t} = 4000 \Leftrightarrow e^{0{,}3t} = 8 \Leftrightarrow t = \dfrac{\ln 8}{0{,}3} \approx 6{,}93$ ⁠. Làm tròn: 6,9 giờ.

Kiểm tra lại kiến thức vừa ôn

Làm 10 câu luyện tập về hàm số mũ và hàm số lôgarit và xem lời giải ngay sau mỗi câu.

Luyện tập ngay

Đề có câu hỏi về chủ đề này

Đề ôn luyện số 1

90 phút · Trung bình

Làm thử miễn phí

Đề ôn luyện số 2

90 phút · Cơ bản

Làm thử miễn phí

Đề ôn luyện số 3

90 phút · Nâng cao

Làm thử miễn phí