Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Dãy số và cấp số thuộc chương trình lớp 11. Trong đề thi tốt nghiệp theo định dạng từ năm 2025, chủ đề này thường có khoảng 1 câu ở phần I (tìm số hạng, công sai, công bội, tính tổng) và hay "ẩn" trong bài toán thực tế ở phần II, III: lãi suất ngân hàng, tăng dân số, khấu hao tài sản, xếp ghế, quãng đường bóng nảy. Chìa khóa là nhận ra quy luật cộng thêm một số không đổi (cấp số cộng) hay nhân với một số không đổi (cấp số nhân), rồi đưa mọi giả thiết về hai ẩn: số hạng đầu và công sai (hoặc công bội).

Kiến thức trọng tâm

Dãy số

• Dãy số (vô hạn) là hàm số $u\colon \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$⁠, kí hiệu $(u_n)$⁠, với $u_n$ là số hạng tổng quát.
• Ba cách cho dãy số: bằng công thức số hạng tổng quát (ví dụ $u_n = n^2 - 3n$⁠), bằng hệ thức truy hồi (cho $u_1$ và cách tính $u_{n+1}$ từ $u_n$⁠), hoặc bằng mô tả (dãy các số nguyên tố, dãy số tiền sau mỗi tháng...).
• $(u_n)$ tăng nếu $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n$⁠; giảm nếu $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n$⁠. Cách xét: dấu của $u_{n+1} - u_n$⁠, hoặc so sánh $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ với $1$ khi mọi số hạng dương.
• $(u_n)$ bị chặn trên nếu có số $M$ để $u_n \le M$ với mọi $n$⁠; bị chặn dưới nếu có $m$ để $u_n \ge m$ với mọi $n$⁠; bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
• Nếu $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$ thì $u_1 = S_1$ và $u_n = S_n - S_{n-1}$ với $n \ge 2$⁠.

Cấp số cộng và cấp số nhân

• Kiểm tra một dãy là cấp số cộng: $u_{n+1} - u_n$ là hằng số. Dãy $u_n = an + b$ là cấp số cộng với công sai $d = a$⁠.
• Kiểm tra một dãy là cấp số nhân (các số hạng khác $0$⁠): $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ là hằng số. Dãy $u_n = c\cdot q^n$ là cấp số nhân với công bội $q$ và $u_1 = cq$⁠.
• Số số hạng từ $u_m$ đến $u_k$ (⁠$m \le k$⁠) là $k - m + 1$⁠.

Bài toán tài chính dựng trên cấp số nhân

Gọi $r$ là lãi suất mỗi kì (tháng hoặc năm). Lãi đơn: chỉ gốc sinh lãi, số tiền sau $n$ kì là $A(1 + nr)$ — một cấp số cộng. Lãi kép: lãi được nhập vào gốc sau mỗi kì — một cấp số nhân công bội $1 + r$⁠.

Hai công thức sau là tổng của một cấp số nhân công bội $1 + r$⁠: mỗi khoản tiền được nhân với $(1 + r)$ bao nhiêu lần thì cộng tất cả lại. Hiểu điều này thì không cần học thuộc: có thể tự lập lại khi đề thay đổi (gửi cuối kì thay vì đầu kì, trả trước...).

Số tiền khi gửi 100 triệu đồng, lãi 6% mỗi năm

Số tiền khi gửi 100 triệu đồng, lãi 6% mỗi năm

	Lãi đơn (cấp số cộng) (Triệu đồng)	Lãi kép (cấp số nhân) (Triệu đồng)
0	100	100
2	112	112,4
4	124	126,2
6	136	141,9
8	148	159,4
10	160	179,1
12	172	201,2

Dạng bài thường gặp trong đề thi

Dạng 1: Số hạng, tính tăng giảm, bị chặn của dãy số

Phương pháp.

1. Tìm số hạng: thay $n$ vào công thức tổng quát, hoặc tính lần lượt theo hệ thức truy hồi.
2. Hỏi "số $c$ là số hạng thứ mấy": giải phương trình $u_n = c$ và chỉ nhận nghiệm nguyên dương.
3. Xét tăng, giảm: rút gọn $u_{n+1} - u_n$ rồi xét dấu với mọi $n \ge 1$⁠.
4. Xét bị chặn: tách $u_n$ thành "hằng số + phần nhỏ dần" (ví dụ $2 - \dfrac{3}{n + 2}$⁠), hoặc dùng tính tăng, giảm: dãy tăng thì $u_n \ge u_1$⁠, dãy giảm thì $u_n \le u_1$⁠.
5. Cho tổng $S_n$⁠: dùng $u_1 = S_1$ và $u_n = S_n - S_{n-1}$⁠.

Xem lời giải

a) $u_5 = 25 - 15 = 10$⁠. Giải $n^2 - 3n = 40 \Leftrightarrow n^2 - 3n - 40 = 0 \Leftrightarrow n = 8$ hoặc $n = -5$⁠. Chỉ nhận $n = 8$ (nguyên dương): $40$ là số hạng thứ 8.

b) Tính lần lượt: $u_2 = 2\cdot 2 - 1 = 3$⁠; $u_3 = 2\cdot 3 - 1 = 5$⁠; $u_4 = 2\cdot 5 - 1 = 9$⁠.

Xem lời giải

$$\begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= \dfrac{2n + 3}{n + 3} - \dfrac{2n + 1}{n + 2} \\ &= \dfrac{3}{(n + 2)(n + 3)} > 0 \end{aligned}$$

(sau khi quy đồng, tử số là $(2n + 3)(n + 2) - (2n + 1)(n + 3) = 3$⁠), nên dãy tăng.

Mặt khác $u_n = 2 - \dfrac{3}{n + 2} < 2$⁠, và dãy tăng nên $u_n \ge u_1 = 1$⁠. Vậy $1 \le u_n < 2$ với mọi $n$⁠: dãy bị chặn.

Xem lời giải

$u_1 = S_1 = 2$⁠. Với $n \ge 2$⁠:

$$\begin{aligned} u_n &= S_n - S_{n-1} = 3^n - 3^{n-1} \\ &= 2\cdot 3^{n-1}. \end{aligned}$$

Công thức này cũng đúng với $n = 1$⁠. Vậy $u_n = 2\cdot 3^{n-1}$⁠, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 3$ không đổi: $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1 = 2$⁠, $q = 3$⁠. Suy ra $u_5 = 2\cdot 3^4 = 162$⁠.

Dạng 2: Cấp số cộng

Phương pháp.

1. Viết mọi giả thiết theo hai ẩn $u_1$ và $d$ (ví dụ $u_5 = u_1 + 4d$⁠).
2. Giải hệ để được $u_1$⁠, $d$⁠, rồi dùng công thức số hạng tổng quát hoặc tổng.
3. Bài thực tế: xác định rõ $u_1$ (số hạng đầu ứng với kì nào), $d$ và số số hạng $n$ trước khi áp dụng công thức.
4. Bài "sau ít nhất bao nhiêu kì thì tổng vượt mức": giải bất phương trình bậc hai theo $n$⁠, lấy số nguyên dương nhỏ nhất, rồi thử lại hai giá trị kề nhau.

Xem lời giải

$d = u_2 - u_1 = -4 - (-10) = 6$⁠; $u_{15} = u_1 + 14d = -10 + 84 = 74$⁠;

$$\begin{aligned} S_{15} &= \dfrac{15(u_1 + u_{15})}{2} \\ &= \dfrac{15\cdot 64}{2} = 480. \end{aligned}$$

Xem lời giải

Đưa về $u_1$ và $d$⁠:

$$\begin{cases} (u_1 + d) + (u_1 + 4d) = 17 \\ u_1 + 3d = 10 \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1 + 5d = 17 \\ u_1 + 3d = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = 1 \\ d = 3. \end{cases}$$

$$\begin{aligned} S_{20} &= \dfrac{20\left[2\cdot 1 + 19\cdot 3\right]}{2} \\ &= 10\cdot 59 = 590. \end{aligned}$$

Xem lời giải

Quãng đường mỗi ngày lập thành cấp số cộng $u_1 = 2$⁠, $d = 0{,}25$⁠. Tổng sau $n$ ngày:

$$\begin{aligned} S_n &= \dfrac{n\left[4 + 0{,}25(n - 1)\right]}{2} \\ &= \dfrac{n(0{,}25n + 3{,}75)}{2}. \end{aligned}$$

$S_n > 100 \Leftrightarrow 0{,}25n^2 + 3{,}75n > 200 \Leftrightarrow n^2 + 15n - 800 > 0$⁠. Nghiệm dương của tam thức là $\dfrac{-15 + \sqrt{3425}}{2} \approx 21{,}76$⁠, nên cần $n \ge 22$⁠.

Thử lại: $S_{21} = 94{,}5$ (chưa vượt), $S_{22} = 101{,}75$ (vượt). Ghi phiếu: 22.

Dạng 3: Cấp số nhân

Phương pháp.

1. Viết giả thiết theo $u_1$ và $q$ (ví dụ $u_4 = u_1q^3$⁠), chia các đẳng thức cho nhau để khử $u_1$⁠.
2. Gặp $q^2 = c$ (hoặc lũy thừa chẵn) thì xét cả hai giá trị $q = \pm\sqrt{c}$⁠, trừ khi đề cho các số hạng cùng dấu.
3. Tính tổng bằng $S_n = u_1\dfrac{1 - q^n}{1 - q}$⁠; với ít số hạng có thể cộng trực tiếp để kiểm tra.
4. Bài thực tế (bóng nảy, chia đôi, nhân đôi): liệt kê vài số hạng đầu để chắc chắn số hạng thứ nhất và số số hạng.

Xem lời giải

$u_5 = 81\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^4 = 1$⁠;

$$S_5 = 81\cdot\dfrac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^5}{1 - \frac{1}{3}} = 121.$$

Kiểm tra: $81 + 27 + 9 + 3 + 1 = 121$⁠.

Xem lời giải

$u_4 = u_1 q^3 \Rightarrow q^3 = -8 \Rightarrow q = -2$⁠.

$$\begin{aligned} S_6 &= 3\cdot\dfrac{1 - (-2)^6}{1 - (-2)} \\ &= 3\cdot\dfrac{1 - 64}{3} = -63. \end{aligned}$$

Kiểm tra: $3 - 6 + 12 - 24 + 48 - 96 = -63$⁠.

Xem lời giải

Lần rơi đầu tiên: $10\,\text{m}$⁠. Sau mỗi lần chạm sàn (từ lần 1 đến lần 4), bóng nảy lên rồi rơi xuống cùng một độ cao; các độ cao nảy lập thành cấp số nhân $u_1 = 10\cdot\dfrac{3}{4} = 7{,}5$⁠, $q = \dfrac{3}{4}$⁠, gồm 4 số hạng (lần chạm thứ năm kết thúc chuyển động).

$$\begin{aligned} S &= 10 + 2\left(u_1 + u_2 + u_3 + u_4\right) \\ &= 10 + 2\cdot 7{,}5\cdot\dfrac{1 - 0{,}75^4}{1 - 0{,}75} \\ &= 10 + 41{,}015625 \approx 51\,(\text{m}). \end{aligned}$$

Ghi phiếu: 51. Lỗi hay gặp: nhân đôi cả lần rơi đầu tiên, hoặc lấy 5 lần nảy thay vì 4.

Dạng 4: Tăng trưởng theo phần trăm

Phương pháp.

1. Xác định giá trị ban đầu $A$ (ứng với thời điểm $n = 0$⁠) và hệ số nhân mỗi kì $q = 1 + r$ (tăng) hoặc $q = 1 - r$ (giảm).
2. Giá trị sau $n$ kì: $A\cdot q^n$ — số hạng của cấp số nhân.
3. Hỏi "sau ít nhất bao nhiêu kì thì vượt (hoặc dưới) mức $M$": giải $A\cdot q^n > M$ bằng lôgarit hoặc bảng giá trị; nhớ đổi chiều bất đẳng thức khi chia cho $\ln q < 0$ (trường hợp giảm).
4. Phân biệt "sau $n$ năm" (lũy thừa $n$⁠) với "năm thứ $n$" (thường là lũy thừa $n - 1$⁠).

Xem lời giải

Dân số sau mỗi năm nhân với $q = 1{,}015$⁠. Sau 3 năm: $8000\cdot 1{,}015^3 \approx 8365{,}43$⁠, tức khoảng $8365$ người.

Xem lời giải

a) Đúng. $100\cdot(1 + 0{,}06) = 106$ (triệu đồng).

b) Đúng. Số tiền năm sau bằng số tiền năm trước nhân $1{,}06$⁠: $T_n = 100\cdot 1{,}06^n$⁠.

c) Sai. $T_5 = 100\cdot 1{,}06^5 \approx 133{,}82$ (triệu đồng). Con số $130$ là của lãi đơn (⁠$100 + 5\cdot 6$⁠).

d) Sai. $100\cdot 1{,}06^n \ge 200 \Leftrightarrow n \ge \log_{1{,}06} 2 \approx 11{,}9$⁠, nên chỉ cần 12 năm (⁠$T_{12} \approx 201{,}2$ triệu đồng, còn $T_{11} \approx 189{,}8$ triệu đồng).

Xem lời giải

Giá trị sau $n$ năm: $V_n = 400\cdot 0{,}88^n$ (cấp số nhân công bội $0{,}88$⁠).

$V_n < 200 \Leftrightarrow 0{,}88^n < 0{,}5 \Leftrightarrow n\ln 0{,}88 < \ln 0{,}5 \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}88} \approx 5{,}42$ (đổi chiều vì $\ln 0{,}88 < 0$⁠).

Vậy cần ít nhất 6 năm. Thử lại: $V_5 \approx 211{,}1$ triệu đồng, $V_6 \approx 185{,}8$ triệu đồng.

Dạng 5: Gửi góp và vay trả góp

Phương pháp.

1. Vẽ "trục thời gian": mỗi khoản tiền được gửi (hoặc trả) vào thời điểm nào, đến cuối kì cuối cùng thì đã sinh lãi bao nhiêu kì.
2. Khoản gửi ở đầu kì thứ $k$ (trong tổng số $n$ kì) được nhân với $(1 + r)^{n - k + 1}$⁠; cộng lại là tổng một cấp số nhân.
3. Vay trả góp: số nợ sau mỗi kì = nợ kì trước $\times (1 + r) -$ khoản trả; đặt số nợ sau kì cuối bằng $0$⁠.
4. Giữ nguyên lũy thừa trong máy tính, chỉ làm tròn ở kết quả cuối theo yêu cầu.

Xem lời giải

Khoản gửi đầu năm thứ nhất sinh lãi 3 năm, đầu năm thứ hai 2 năm, đầu năm thứ ba 1 năm:

$$\begin{aligned} T &= 10\cdot 1{,}07^3 + 10\cdot 1{,}07^2 \\ &\quad + 10\cdot 1{,}07 \\ &\approx 34{,}3994 \approx 34{,}4. \end{aligned}$$

Ghi phiếu: 34,4 (đúng 4 kí tự).

Xem lời giải

Đây là tổng cấp số nhân $3\cdot 1{,}005 + 3\cdot 1{,}005^2 + \dots + 3\cdot 1{,}005^{12}$⁠:

$$\begin{aligned} T &= 3\cdot 1{,}005\cdot\dfrac{1{,}005^{12} - 1}{0{,}005} \\ &\approx 37{,}19. \end{aligned}$$

Làm tròn đến hàng phần mười: 37,2 triệu đồng.

Xem lời giải

Đặt $q = 1{,}01$⁠. Sau tháng thứ nhất, số nợ còn $200q - m$⁠; sau tháng thứ hai còn $200q^2 - mq - m$⁠; ... Sau tháng thứ 24:

$$\begin{aligned} & 200q^{24} - m\left(q^{23} + q^{22} + \dots + 1\right) \\ = {} & 200q^{24} - m\cdot\dfrac{q^{24} - 1}{q - 1}. \end{aligned}$$

Trả hết nợ nên biểu thức bằng $0$⁠:

$$m = \dfrac{200\cdot 0{,}01\cdot 1{,}01^{24}}{1{,}01^{24} - 1} \approx 9{,}41.$$

Mỗi tháng anh H. trả khoảng $9{,}41$ triệu đồng. Ghi phiếu: 9,41.

Bẫy và lỗi thường gặp

Mẹo làm bài

Tự luyện

1. (Nhận biết) Cấp số cộng có $u_1 = 5$⁠, $d = -2$⁠. Tính $u_{10}$⁠.

Xem đáp án

$u_{10} = 5 + 9\cdot(-2) = -13$⁠.

2. (Nhận biết) Cấp số nhân có $u_1 = 4$⁠, $q = \dfrac{1}{2}$⁠. Tính $u_5$ và $S_5$⁠.

Xem đáp án

$u_5 = 4\cdot\dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{4}$⁠; $S_5 = 4\cdot\dfrac{1 - \frac{1}{32}}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{31}{4}$⁠.

3. (Nhận biết) Tính tổng $2 + 9 + 16 + \dots + 100$⁠.

Xem đáp án

Cấp số cộng $u_1 = 2$⁠, $d = 7$⁠; $u_n = 2 + 7(n - 1) = 100 \Rightarrow n = 15$⁠. $S_{15} = \dfrac{15(2 + 100)}{2} = 765$⁠.

4. (Thông hiểu) Dãy số $u_n = 3\cdot 2^n$ có phải cấp số nhân không? Nếu có, tìm $u_1$ và $q$⁠.

Xem đáp án

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 2$ không đổi nên là cấp số nhân với $q = 2$⁠, $u_1 = 6$⁠.

5. (Thông hiểu) Ba số $2$⁠; $x$⁠; $18$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm $x$⁠.

Xem đáp án

$x^2 = 2\cdot 18 = 36 \Leftrightarrow x = 6$ hoặc $x = -6$ (cả hai đều cho cấp số nhân, công bội $3$ hoặc $-3$⁠).

6. (Thông hiểu) Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_5 = 18$ và tổng 5 số hạng đầu bằng $50$⁠. Tìm $u_1$ và $d$⁠.

Xem đáp án

$S_5 = \dfrac{5(u_1 + u_5)}{2} = 50 \Rightarrow u_1 + 18 = 20 \Rightarrow u_1 = 2$⁠; $u_5 = u_1 + 4d \Rightarrow d = 4$⁠.

7. (Thông hiểu) Dãy số $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$ có tăng, giảm, bị chặn không?

Xem đáp án

$u_1 = -1$⁠, $u_2 = \dfrac{1}{2}$⁠, $u_3 = -\dfrac{1}{3}$⁠: các số hạng đổi dấu liên tục nên dãy không tăng, không giảm. Vì $\lvert u_n\rvert = \dfrac{1}{n} \le 1$ nên $-1 \le u_n \le 1$⁠: dãy bị chặn.

8. (Vận dụng, phần III) Người ta xếp các lon nước thành một tháp 8 tầng: tầng trên cùng có 5 lon, mỗi tầng phía dưới nhiều hơn tầng liền trên 4 lon. Tháp có tất cả bao nhiêu lon?

Xem đáp án

Số lon từ trên xuống là cấp số cộng $u_1 = 5$⁠, $d = 4$⁠, $n = 8$⁠: $u_8 = 5 + 7\cdot 4 = 33$⁠, $S_8 = \dfrac{8(5 + 33)}{2} = 152$⁠.

9. (Vận dụng, phần III) Một tờ giấy dày $0{,}1\,\text{mm}$⁠. Giả sử có thể gấp đôi tờ giấy bao nhiêu lần tùy ý, mỗi lần gấp độ dày tăng gấp đôi. Sau ít nhất bao nhiêu lần gấp thì độ dày vượt $1\,\text{m}$⁠?

Xem đáp án

Độ dày sau $n$ lần gấp: $0{,}1\cdot 2^n\,(\text{mm})$⁠. Cần $0{,}1\cdot 2^n > 1000 \Leftrightarrow 2^n > 10\,000$⁠. Vì $2^{13} = 8192 < 10\,000 < 2^{14} = 16\,384$ nên cần ít nhất 14 lần.

10. (Vận dụng thực tế, phần III) Một nhân viên nhận lương khởi điểm 10 triệu đồng mỗi tháng; cứ sau mỗi năm, lương mỗi tháng tăng thêm 0,5 triệu đồng. Tính tổng số tiền lương (triệu đồng) người đó nhận được trong 5 năm đầu.

Xem đáp án

Lương tháng trong 5 năm là cấp số cộng $10$⁠; $10{,}5$⁠; $11$⁠; $11{,}5$⁠; $12$ (tổng $55$⁠). Mỗi năm 12 tháng nên tổng lương là $12\cdot 55 = 660$ (triệu đồng).