Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Mục lục (5 phần)

Lượng giác là kiến thức lớp 11. Trong đề thi tốt nghiệp THPT theo định dạng từ năm 2025, chủ đề này thường chỉ có khoảng 1 câu ở phần I (giá trị lượng giác, công thức biến đổi, chu kì, phương trình cơ bản) nhưng có thể xuất hiện lại trong bài toán thực tế ở phần II, III dưới dạng hàm số $y = A\sin(\omega x + \varphi) + B$ ⁠: mực nước thủy triều, nhiệt độ trong ngày, độ cao của một điểm trên bánh xe quay. Bài này hệ thống phần kiến thức phải thuộc, 5 dạng bài với ví dụ từ nhận biết đến vận dụng, các bẫy hay gặp và 10 câu tự luyện có lời giải.

Kiến thức trọng tâm

Góc lượng giác và đơn vị đo

$\pi\ \text{rad} = 180^\circ$ ⁠, nên $1^\circ = \dfrac{\pi}{180}\ \text{rad}$ và $1\ \text{rad} = \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^\circ \approx 57^\circ 18'$ ⁠.
Cung có số đo $\alpha$ (rad) trên đường tròn bán kính $R$ có độ dài $l = R\alpha$ ⁠.
Các góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối có số đo sai khác nhau một bội của $2\pi$ ⁠: $\alpha + k2\pi$ (⁠ $k \in \mathbb{Z}$ ⁠), hay $a^\circ + k360^\circ$ ⁠.

Giá trị lượng giác

Trên đường tròn lượng giác (tâm $O$ ⁠, bán kính $1$ ⁠), điểm $M$ biểu diễn góc $\alpha$ có tọa độ $(\cos\alpha; \sin\alpha)$ ⁠.
$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ xác định khi $\cos\alpha \ne 0$ ⁠, tức $\alpha \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ⁠; $\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ xác định khi $\sin\alpha \ne 0$ ⁠, tức $\alpha \ne k\pi$ ⁠.
Hệ thức cơ bản: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ ⁠; $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ ⁠; $1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ ⁠; $\tan\alpha\cdot\cot\alpha = 1$ ⁠.

Góc	0°	30°	45°	60°	90°
$\alpha$ (rad)	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\sin\alpha$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos\alpha$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\tan\alpha$	$0$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	không xác định

Dấu của giá trị lượng giác theo vị trí điểm $M$ (góc phần tư):

Góc phần tư	I	II	III	IV
$\sin\alpha$	$+$	$+$	$-$	$-$
$\cos\alpha$	$+$	$-$	$-$	$+$
$\tan\alpha$ ⁠, $\cot\alpha$	$+$	$-$	$+$	$-$

Góc có liên quan đặc biệt

Hai góc	Công thức
Đối nhau: $\alpha$ và $-\alpha$	$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ ⁠; $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ ⁠; $\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$
Bù nhau: $\alpha$ và $\pi - \alpha$	$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ ⁠; $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ ⁠; $\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha$
Phụ nhau: $\alpha$ và $\dfrac{\pi}{2} - \alpha$	$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$ ⁠; $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$ ⁠; $\tan\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cot\alpha$
Hơn kém $\pi$ ⁠: $\alpha$ và $\alpha + \pi$	$\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha$ ⁠; $\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha$ ⁠; $\tan(\alpha + \pi) = \tan\alpha$

Công thức biến đổi

Nhóm	Công thức
Cộng	$\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b$
Cộng	$\cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b$
Cộng	$\tan(a \pm b) = \dfrac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a\tan b}$
Nhân đôi	$\sin 2a = 2\sin a\cos a$
Nhân đôi	$\cos 2a = {\cos^2 a - \sin^2 a} = {2\cos^2 a - 1} = {1 - 2\sin^2 a}$
Hạ bậc	$\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}$ ⁠; $\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{2}$
Tích thành tổng	$\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a - b) + \cos(a + b)\right]$
Tích thành tổng	$\sin a\sin b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a - b) - \cos(a + b)\right]$
Tích thành tổng	$\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[\sin(a - b) + \sin(a + b)\right]$
Tổng thành tích	$\sin a + \sin b = 2\sin\dfrac{a + b}{2}\cos\dfrac{a - b}{2}$
Tổng thành tích	$\cos a + \cos b = 2\cos\dfrac{a + b}{2}\cos\dfrac{a - b}{2}$

Hàm số lượng giác

Hàm số	Tập xác định	Tập giá trị	Tính chẵn, lẻ	Chu kì
$y = \sin x$	$\mathbb{R}$	$[-1; 1]$	lẻ	$2\pi$
$y = \cos x$	$\mathbb{R}$	$[-1; 1]$	chẵn	$2\pi$
$y = \tan x$	$x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$	$\mathbb{R}$	lẻ	$\pi$
$y = \cot x$	$x \ne k\pi$	$\mathbb{R}$	lẻ	$\pi$

Đồ thị hàm số lẻ (⁠ $\sin$ ⁠, $\tan$ ⁠, $\cot$ ⁠) đối xứng qua gốc $O$ ⁠; đồ thị hàm số chẵn (⁠ $\cos$ ⁠) đối xứng qua trục $Oy$ ⁠.
$y = \sin x$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k2\pi; \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\right)$ ⁠; $y = \cos x$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-\pi + k2\pi; k2\pi)$ ⁠; $y = \tan x$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Đồ thị

y = \sin x

(nét liền) và

y = \cos x

(nét đứt) — tuần hoàn chu kì

2\pi

⁠, tập giá trị

[-1; 1]

⁠.

Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình	Điều kiện có nghiệm	Nghiệm (⁠ $k \in \mathbb{Z}$ ⁠)
$\sin x = m = \sin\alpha$	$\lvert m\rvert \le 1$	${x = \alpha + k2\pi}$ hoặc ${x = \pi - \alpha + k2\pi}$
$\cos x = m = \cos\alpha$	$\lvert m\rvert \le 1$	${x = \pm\alpha + k2\pi}$
$\tan x = m = \tan\alpha$	mọi $m$	${x = \alpha + k\pi}$
$\cot x = m = \cot\alpha$	mọi $m$	${x = \alpha + k\pi}$

Trường hợp đặc biệt: ${\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi}$ ⁠; ${\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi}$ ⁠; ${\sin x = -1 \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi}$ ⁠; ${\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi}$ ⁠; ${\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi}$ ⁠; ${\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi}$ ⁠.

Dạng mở rộng với hai biểu thức $u$ ⁠, $v$ của $x$ ⁠:

$\sin u = \sin v \Leftrightarrow u = v + k2\pi$ hoặc $u = \pi - v + k2\pi$ ⁠;
$\cos u = \cos v \Leftrightarrow u = v + k2\pi$ hoặc $u = -v + k2\pi$ ⁠;
$\tan u = \tan v \Leftrightarrow u = v + k\pi$ (với điều kiện $\tan u$ ⁠, $\tan v$ xác định).
Phương trình có cả $\sin$ và $\cos$ thì đổi về một loại nhờ góc phụ, ví dụ $\cos v = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - v\right)$ ⁠.
Đơn vị độ: $\sin x = \sin a^\circ \Leftrightarrow x = a^\circ + k360^\circ$ hoặc $x = 180^\circ - a^\circ + k360^\circ$ ⁠. Không trộn $\pi$ với độ trong cùng một công thức.

Đường thẳng

y = \dfrac{1}{2}

cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm ứng với

\dfrac{\pi}{6}

và

\dfrac{5\pi}{6}

— hai họ nghiệm của

\sin x = \dfrac{1}{2}

⁠.

Đường thẳng

x = \dfrac{1}{2}

cắt đường tròn tại hai điểm đối xứng qua trục hoành, ứng với

\dfrac{\pi}{3}

và

-\dfrac{\pi}{3}

— vì thế nghiệm của

\cos x = \dfrac{1}{2}

có dạng

\pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi

⁠.

Dạng bài thường gặp trong đề thi

Dạng	Thường gặp ở	Mức độ hay hỏi
1. Tính giá trị lượng giác	Phần I	Nhận biết, thông hiểu
2. Công thức cộng, nhân đôi, hạ bậc	Phần I	Thông hiểu
3. Tính chất của hàm số lượng giác	Phần I	Nhận biết, thông hiểu
4. Phương trình cơ bản, nghiệm trên một đoạn	Phần I, III	Thông hiểu, vận dụng
5. Mô hình lượng giác trong thực tế	Phần II, III	Vận dụng

Dạng 1: Tính giá trị lượng giác

Phương pháp.

Xác định góc phần tư chứa điểm biểu diễn góc để biết dấu của $\sin$ ⁠, $\cos$ ⁠, $\tan$ ⁠.
Biết một giá trị, tìm các giá trị còn lại bằng hệ thức cơ bản (⁠ $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ ⁠, $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ ⁠), rồi chọn dấu theo bước 1.
Góc lớn hoặc góc âm: đưa về góc nhọn bằng các góc có liên quan đặc biệt.
Biết $\sin\alpha + \cos\alpha$ (hoặc $\sin\alpha - \cos\alpha$ ⁠): bình phương hai vế. Biết $\tan\alpha$ ⁠, tính phân thức có tử và mẫu cùng dạng $a\sin\alpha + b\cos\alpha$ ⁠: chia cả tử và mẫu cho $\cos\alpha$ để đưa về $\tan\alpha$ ⁠.

Xem lời giải

$\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$ (bù với $\dfrac{\pi}{6}$ ⁠), điểm biểu diễn nằm ở góc phần tư thứ II:

$\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ ⁠;
$\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ⁠;
$\tan\dfrac{5\pi}{6} = -\tan\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ⁠.

$\cos$ là hàm chẵn nên $\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{2\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ ⁠.

Xem lời giải

$\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tan^2\alpha = 5 \Rightarrow \cos^2\alpha = \dfrac{1}{5}$ ⁠. Góc thuộc góc phần tư thứ III nên $\cos\alpha < 0$ ⁠: $\cos\alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ ⁠.

$\sin\alpha = \tan\alpha\cdot\cos\alpha = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ (âm, đúng với góc phần tư thứ III).

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cdot\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{5}$ ⁠; $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = \dfrac{2}{5} - 1 = -\dfrac{3}{5}$ ⁠.

Xem lời giải

Bình phương hai vế:

\begin{aligned} (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 &= \dfrac{1}{4} \\ 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha &= \dfrac{1}{4} \\ \sin\alpha\cos\alpha &= -\dfrac{3}{8}. \end{aligned}

Suy ra $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = -\dfrac{3}{4}$ và $(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}$ ⁠.

Nhận xét: không cần tìm $\alpha$ ⁠; chỉ dùng $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ ⁠.

Dạng 2: Công thức cộng, nhân đôi, hạ bậc

Phương pháp.

Góc "không đặc biệt" như $15^\circ$ ⁠, $75^\circ$ ⁠, $105^\circ$ ⁠, $\dfrac{\pi}{12}$ ⁠: viết thành tổng hoặc hiệu của hai góc đặc biệt rồi dùng công thức cộng.
Biết $\cos 2\alpha$ ⁠, cần $\sin^2\alpha$ hoặc $\cos^2\alpha$ ⁠: dùng công thức hạ bậc. Biết $\sin\alpha$ ⁠, $\cos\alpha$ ⁠, cần $\sin 2\alpha$ ⁠, $\cos 2\alpha$ ⁠: dùng công thức nhân đôi.
Rút gọn phân thức có tổng $\sin$ hoặc tổng $\cos$ ⁠: biến tổng thành tích để làm xuất hiện nhân tử chung.

Xem lời giải

Áp dụng $\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ với $a = 45^\circ$ ⁠, $b = 30^\circ$ ⁠:

\begin{aligned} \cos 75^\circ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}. \end{aligned}

Xem lời giải

Hạ bậc: $\sin^2\alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2} = \dfrac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \dfrac{1}{3}$ và $\cos^2\alpha = \dfrac{1 + \frac{1}{3}}{2} = \dfrac{2}{3}$ ⁠.

Nhân đôi với góc $2\alpha$ ⁠: $\cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha - 1 = 2\cdot\dfrac{1}{9} - 1 = -\dfrac{7}{9}$ ⁠.

Xem lời giải

Biến tổng thành tích ở cả tử và mẫu:

\begin{aligned} \sin 3x + \sin x &= 2\sin 2x\cos x, \\ \cos 3x + \cos x &= 2\cos 2x\cos x. \end{aligned}

Rút gọn nhân tử chung $2\cos x$ (khác $0$ khi $A$ xác định): $A = \dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tan 2x$ ⁠.

Khi $x = \dfrac{\pi}{8}$ ⁠: $A = \tan\dfrac{\pi}{4} = 1$ ⁠.

Dạng 3: Tính chất của hàm số lượng giác

Phương pháp.

Tập xác định: chỉ $\tan$ ⁠, $\cot$ (và phân thức) có điều kiện. Viết điều kiện cho cả biểu thức bên trong, ví dụ $\tan u$ cần $u \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ⁠, rồi giải ra $x$ ⁠.
Chu kì của $A\sin(\omega x + \varphi) + B$ là $\dfrac{2\pi}{\omega}$ ⁠; tập giá trị suy từ $-1 \le \sin u \le 1$ ⁠.
Chẵn, lẻ: kiểm tra tập xác định đối xứng, rồi so sánh $f(-x)$ với $f(x)$ ⁠.
Biểu thức $a\sin x + b\cos x$ ⁠: đưa về $\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Xem lời giải

$\omega = 2$ nên chu kì $T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ ⁠.

$-1 \le \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) \le 1 \Rightarrow -3 + 1 \le y \le 3 + 1$ ⁠. Tập giá trị là $[-2; 4]$ ⁠.

Xem lời giải

a) Hàm số xác định khi $2x - \dfrac{\pi}{3} \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{5\pi}{6} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2}$ $(k \in \mathbb{Z})$ ⁠.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2} \,\Big|\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ ⁠.

b) Tập xác định $\mathbb{R}$ đối xứng. $f(-x) = \sin(-x)\cos(-2x) = -\sin x\cos 2x = -f(x)$ ⁠, nên hàm số lẻ.

Xem lời giải

$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$ ⁠. Viết

\begin{aligned} & \sqrt{3}\sin x + \cos x \\ ={} & 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \dfrac{1}{2}\cos x\right) \\ ={} & 2\left(\sin x\cos\dfrac{\pi}{6} + \cos x\sin\dfrac{\pi}{6}\right) \\ ={} & 2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right). \end{aligned}

Vậy $y = 2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) + 1$ ⁠, nên $-1 \le y \le 3$ ⁠.

$\max y = 3$ khi $x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ ⁠, ví dụ $x = \dfrac{\pi}{3}$ ⁠.
$\min y = -1$ khi $x + \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ ⁠, ví dụ $x = -\dfrac{2\pi}{3}$ ⁠.

Dạng 4: Phương trình cơ bản và nghiệm trên một đoạn

Phương pháp.

Đưa phương trình về một trong các dạng $\sin u = m$ ⁠, $\cos u = m$ ⁠, $\tan u = m$ (chuyển vế, chia hệ số). Kiểm tra $\lvert m\rvert \le 1$ với $\sin$ ⁠, $\cos$ ⁠.
Viết $m$ thành giá trị lượng giác của một góc quen thuộc, áp dụng công thức nghiệm cho cả biểu thức $u$ , sau đó mới giải ra $x$ (chia cả $k2\pi$ cho hệ số).
Tìm nghiệm trên đoạn $[a; b]$ ⁠: với từng họ nghiệm, giải bất phương trình $a \le x(k) \le b$ theo $k \in \mathbb{Z}$ ⁠, liệt kê các giá trị $k$ ⁠. Gộp các họ và loại nghiệm trùng.

Xem lời giải

$\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\dfrac{3\pi}{4} \Leftrightarrow x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$ ⁠.

Xem lời giải

$\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi}{3} = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ ⁠.

$2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ ⁠;
$2x - \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$ ⁠.

Trên $[0; \pi]$ ⁠: họ thứ nhất cần $0 \le \dfrac{\pi}{3} + k\pi \le \pi \Leftrightarrow -\dfrac{1}{3} \le k \le \dfrac{2}{3}$ ⁠, chỉ có $k = 0$ ⁠, cho $x = \dfrac{\pi}{3}$ ⁠; họ thứ hai cho $k = 0$ và $k = 1$ ⁠, tức $x = 0$ và $x = \pi$ ⁠. Có 3 nghiệm: $0$ ⁠; $\dfrac{\pi}{3}$ ⁠; $\pi$ ⁠.

Xem lời giải

Đổi $\cos$ thành $\sin$ bằng góc phụ: $\cos x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ ⁠. Phương trình trở thành $\sin 3x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ ⁠:

$3x = \dfrac{\pi}{2} - x + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$ ⁠;
$3x = \pi - \left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) + k2\pi \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ ⁠.

Trên $[0; \pi]$ ⁠: họ thứ nhất có $k = 0$ ⁠; $1$ cho $\dfrac{\pi}{8}$ ⁠; $\dfrac{5\pi}{8}$ (⁠ $k = 2$ cho $\dfrac{9\pi}{8} > \pi$ ⁠); họ thứ hai có $k = 0$ cho $\dfrac{\pi}{4}$ ⁠. Ba nghiệm khác nhau nên phương trình có 3 nghiệm trên đoạn.

Xem lời giải

$\sin 2x = \sin\dfrac{\pi}{6} \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $2x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$ ⁠, tức $x = \dfrac{\pi}{12} + k\pi$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi$ ⁠.

Trên $[0; 2\pi]$ mỗi họ có 2 nghiệm (⁠ $k = 0$ ⁠; $1$ ⁠): $\dfrac{\pi}{12}$ ⁠; $\dfrac{13\pi}{12}$ ⁠; $\dfrac{5\pi}{12}$ ⁠; $\dfrac{17\pi}{12}$ ⁠. Tổng bằng $\dfrac{36\pi}{12} = 3\pi$ ⁠, nên $a = 3$ ⁠.

Ghi phiếu: 3.

Dạng 5: Mô hình lượng giác trong thực tế

Phương pháp.

Đọc mô hình $h(t) = A\sin(\omega t + \varphi) + B$ ⁠: chu kì $\dfrac{2\pi}{\omega}$ ⁠, giá trị lớn nhất $B + \lvert A\rvert$ ⁠, nhỏ nhất $B - \lvert A\rvert$ — thường đủ cho các ý dễ.
Thời điểm đạt lớn nhất: giải $\sin(\omega t + \varphi) = 1$ (hoặc $\cos(\ldots) = 1$ ⁠), chọn nghiệm thuộc khoảng thời gian của đề.
Câu hỏi "trong bao lâu thì $h(t) \ge c$ ": đưa về $\sin u \ge m$ ⁠, dùng đường tròn lượng giác lấy cung nghiệm, rồi đổi về $t$ và cắt theo khoảng thời gian đề cho.

Xem lời giải

Chu kì $T = \dfrac{2\pi}{\pi/2} = 4$ (giây): mỗi vòng quay hết 4 giây.

$-1 \le \sin\dfrac{\pi t}{2} \le 1$ nên $35 \le h(t) \le 85$ ⁠: độ cao lớn nhất $85\,\text{m}$ ⁠, nhỏ nhất $35\,\text{m}$ ⁠.

Xem lời giải

Mức trung bình $B = \dfrac{3{,}6 + 0{,}8}{2} = 2{,}2$ ⁠; biên độ $A = \dfrac{3{,}6 - 0{,}8}{2} = 1{,}4$ ⁠.
Chu kì 12 giờ nên $\omega = \dfrac{2\pi}{12} = \dfrac{\pi}{6}$ ⁠.
Hàm $\cos$ lớn nhất khi góc bằng $0$ ⁠, mà mực nước cao nhất lúc 4 giờ, nên $t_0 = 4$ ⁠.

Vậy $h(t) = 1{,}4\cos\dfrac{\pi(t - 4)}{6} + 2{,}2$ ⁠. Kiểm tra: $h(10) = 1{,}4\cos\pi + 2{,}2 = 0{,}8$ (đúng mực thấp nhất).

Lúc 6 giờ: $h(6) = 1{,}4\cos\dfrac{\pi}{3} + 2{,}2 = 0{,}7 + 2{,}2 = 2{,}9\,(\text{m})$ ⁠.

Xem lời giải

a) Đúng. $\sin\dfrac{\pi(t - 9)}{12} \le 1$ nên $T(t) \le 26 + 5 = 31$ ⁠; dấu bằng xảy ra tại $t = 15$ (xem ý b).

b) Sai. $T$ lớn nhất khi $\dfrac{\pi(t - 9)}{12} = \dfrac{\pi}{2}$ ⁠, tức $t - 9 = 6$ ⁠, $t = 15$ ⁠: lúc 15 giờ. Tại $t = 12$ ⁠, $T = 26 + 5\sin\dfrac{\pi}{4} \approx 29{,}5 < 31$ ⁠.

c) Sai. $T(0) = 26 + 5\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = 26 - \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \approx 22{,}5 > 22$ ⁠.

d) Đúng. $T(t) \ge 28{,}5 \Leftrightarrow \sin\dfrac{\pi(t - 9)}{12} \ge \dfrac{1}{2}$ ⁠. Với $0 \le t \le 24$ thì $u = \dfrac{\pi(t - 9)}{12}$ chạy trên $\left[-\dfrac{3\pi}{4}; \dfrac{5\pi}{4}\right]$ ⁠, trong đó $\sin u \ge \dfrac{1}{2}$ khi $\dfrac{\pi}{6} \le u \le \dfrac{5\pi}{6}$ ⁠. Suy ra $2 \le t - 9 \le 10$ ⁠, tức $11 \le t \le 19$ ⁠: kéo dài 8 giờ.

Đồ thị

T(t)

(trục đứng bắt đầu từ

20^\circ\text{C}

⁠) — phần tô màu là khoảng từ 11 giờ đến 19 giờ, khi

T \ge 28{,}5

⁠.

Xem lời giải

$h(t) \ge 6{,}5 \Leftrightarrow \sin\dfrac{\pi t}{6} \ge 0{,}75$ ⁠. Với $0 \le t \le 12$ ⁠, góc $u = \dfrac{\pi t}{6}$ chạy trên $[0; 2\pi]$ ⁠.

Gọi $\beta$ là góc trong $\left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$ có $\sin\beta = 0{,}75$ (máy tính: $\beta \approx 0{,}8481$ rad). Trên $[0; 2\pi]$ ⁠, $\sin u \ge 0{,}75 \Leftrightarrow \beta \le u \le \pi - \beta$ ⁠, nên

\dfrac{6\beta}{\pi} \le t \le 6 - \dfrac{6\beta}{\pi},

với $\dfrac{6\beta}{\pi} \approx 1{,}6197$ ⁠.

Thời gian neo đậu: $6 - \dfrac{12\beta}{\pi} \approx 6 - 3{,}2394 = 2{,}7606 \approx 2{,}8$ (giờ). Ghi phiếu: 2,8.

Lưu ý chọn chế độ radian trên máy tính khi tính $\beta$ ⁠; nếu bấm ở chế độ độ sẽ được $48{,}59$ là số đo độ, không dùng trực tiếp trong $\dfrac{6\beta}{\pi}$ được.

Bẫy và lỗi thường gặp

Chú ý

Giải $\sin x = m$ chỉ lấy một họ nghiệm $x = \alpha + k2\pi$ ⁠, quên họ $x = \pi - \alpha + k2\pi$ ⁠.
Viết nghiệm của $\tan x = m$ với chu kì $k2\pi$ (đúng là $k\pi$ ⁠), làm mất một nửa số nghiệm.
Giải $\sin x = 2$ hoặc $\cos x = -1{,}5$ ra nghiệm: phương trình vô nghiệm vì $\lvert m\rvert > 1$ ⁠.
Biến đổi $\cos 2x = \dfrac{1}{2}$ thành " $\cos x = \dfrac{1}{4}$ " — phải giải theo $2x$ trước, rồi chia cả $k2\pi$ cho $2$ (được $k\pi$ ⁠).
Quên xét dấu theo góc phần tư khi tính $\sin\alpha$ ⁠, $\cos\alpha$ từ hệ thức bình phương.
Viết $\sin(a + b) = \sin a + \sin b$ hay $\cos 2a = 2\cos a$ ⁠: sai, phải dùng công thức cộng, nhân đôi.
Đếm nghiệm trên đoạn nhưng tính trùng một nghiệm thuộc cả hai họ (ví dụ cả hai họ cùng cho $x = \pi$ ⁠).
Bài thực tế: lấy nghiệm ngoài khoảng thời gian của đề, hoặc bấm máy sai chế độ độ/radian.

Mẹo làm bài

Đếm nghiệm trên một đoạn: với mỗi họ nghiệm, giải bất phương trình theo $k \in \mathbb{Z}$ (ví dụ $0 \le \dfrac{\pi}{12} + k\pi \le 2\pi$ ⁠) — chắc chắn hơn vẽ hình khi đoạn dài.
Máy tính cầm tay: luôn kiểm tra đơn vị góc trước khi bấm; thử lại nghiệm bằng cách thay $x$ vào phương trình; dùng chức năng lập bảng giá trị với bước $\dfrac{\pi}{12}$ để đếm nhanh số lần đổi dấu của $f(x) = \sin 2x - \dfrac{1}{2}$ ⁠.
Biểu thức $\dfrac{a\sin\alpha + b\cos\alpha}{c\sin\alpha + d\cos\alpha}$ khi biết $\tan\alpha$ ⁠: chia cả tử và mẫu cho $\cos\alpha$ ⁠, được $\dfrac{a\tan\alpha + b}{c\tan\alpha + d}$ ⁠.
Câu đúng/sai về mô hình thực tế: tính ngay chu kì, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và thời điểm đạt các giá trị đó; bốn ý thường xoay quanh những số này.

Tự luyện

(Nhận biết) Đổi $135^\circ$ sang radian và $\dfrac{2\pi}{5}$ sang độ.

Xem đáp án

$135^\circ = \dfrac{135\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}$ ⁠; $\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{2\cdot 180^\circ}{5} = 72^\circ$ ⁠.

(Nhận biết) Tìm tập giá trị của hàm số $y = 2\cos x - 3$ ⁠.

Xem đáp án

$-1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow -5 \le y \le -1$ ⁠. Tập giá trị $[-5; -1]$ ⁠.

(Nhận biết) Tìm chu kì của các hàm số $y = \sin 3x$ và $y = \cos\dfrac{x}{2}$ ⁠.

Xem đáp án

$T_1 = \dfrac{2\pi}{3}$ ⁠; $T_2 = \dfrac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ ⁠.

(Thông hiểu) Cho $\cos\alpha = \dfrac{2}{3}$ với $-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < 0$ ⁠. Tính $\sin\alpha$ và $\tan\alpha$ ⁠.

Xem đáp án

Góc phần tư thứ IV nên $\sin\alpha < 0$ ⁠: $\sin\alpha = -\sqrt{1 - \dfrac{4}{9}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ ⁠; $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ ⁠.

(Thông hiểu) Rút gọn $\sin(\pi - x) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ ⁠.

Xem đáp án

$\sin(\pi - x) = \sin x$ (góc bù) và $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ (góc phụ), nên biểu thức bằng $2\sin x$ ⁠.

(Thông hiểu) Giải phương trình $\tan\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$ ⁠.

Xem đáp án

$x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$ ⁠.

(Thông hiểu) Cho $\tan\alpha = 3$ ⁠. Tính $P = \dfrac{\sin\alpha + 2\cos\alpha}{3\sin\alpha - \cos\alpha}$ ⁠.

Xem đáp án

Chia cả tử và mẫu cho $\cos\alpha \ne 0$ ⁠: $P = \dfrac{\tan\alpha + 2}{3\tan\alpha - 1} = \dfrac{5}{8}$ ⁠.

(Vận dụng, phần III) Phương trình $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[0; 3\pi]$ ⁠?

Xem đáp án

$x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$ ⁠. Họ $\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$ cho $\dfrac{2\pi}{3}$ ⁠; $\dfrac{8\pi}{3}$ ⁠. Họ $-\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$ cho $\dfrac{4\pi}{3}$ (giá trị kế tiếp $\dfrac{10\pi}{3} > 3\pi$ ⁠). Có 3 nghiệm.

(Vận dụng thực tế) Li độ (cm) của một vật dao động là $x(t) = 6\cos\dfrac{2\pi t}{3}$ ⁠, $t$ tính bằng giây. Trong khoảng $0 \le t \le 3$ ⁠, vật ở li độ $x = 3\,\text{cm}$ tại những thời điểm nào?

Xem đáp án

$\cos\dfrac{2\pi t}{3} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{2\pi t}{3} = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow t = \pm\dfrac{1}{2} + 3k$ ⁠. Trên $[0; 3]$ ⁠: $t = 0{,}5\,\text{s}$ và $t = 2{,}5\,\text{s}$ ⁠.

(Vận dụng, phần III) Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\sin 2x = -\dfrac{1}{2}$ ⁠, tính theo đơn vị độ.

Xem đáp án

$\sin 2x = \sin(-30^\circ) \Leftrightarrow 2x = -30^\circ + k360^\circ$ hoặc $2x = 210^\circ + k360^\circ$ ⁠, tức $x = -15^\circ + k180^\circ$ hoặc $x = 105^\circ + k180^\circ$ ⁠. Các nghiệm dương nhỏ nhất của hai họ là $165^\circ$ và $105^\circ$ ⁠. Đáp số: 105.

Kiểm tra lại kiến thức vừa ôn

Làm 10 câu luyện tập về hàm số lượng giác và phương trình lượng giác và xem lời giải ngay sau mỗi câu.

Luyện tập ngay

Đề có câu hỏi về chủ đề này

Đề ôn luyện số 1

90 phút · Trung bình

Làm thử miễn phí

Đề ôn luyện số 2

90 phút · Cơ bản

Làm thử miễn phí

Đề ôn luyện số 3

90 phút · Nâng cao

Làm thử miễn phí