Tổ hợp và xác suất cổ điển

a) Hai chức vụ khác nhau nên chọn có thứ tự: $A_{30}^2 = 30\cdot 29 = 870$ cách.

b) Ba bạn trực nhật làm cùng một việc, đổi chỗ không tạo cách mới: $C_{30}^3 = \dfrac{30\cdot 29\cdot 28}{3!} = 4060$ cách.

Tất cả các số: chữ số hàng nghìn khác $0$ nên có $5$ cách; ba chữ số còn lại chọn và xếp từ $5$ chữ số còn lại: $A_5^3 = 60$ cách. Có $5\cdot 60 = 300$ số.

Số chẵn — chia theo chữ số hàng đơn vị (quy tắc cộng):

• Hàng đơn vị là $0$⁠: ba chữ số đầu là chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số còn lại: $A_5^3 = 60$ số.
• Hàng đơn vị là $2$ hoặc $4$ (⁠$2$ cách): hàng nghìn khác $0$ và khác chữ số cuối (⁠$4$ cách); hai chữ số giữa: $A_4^2 = 12$ cách. Có $2\cdot 4\cdot 12 = 96$ số.

Vậy có $60 + 96 = 156$ số chẵn.

a) Đếm phần bù: chọn 4 người bất kì có $C_{11}^4 = 330$ cách; chọn 4 người toàn nam có $C_6^4 = 15$ cách. Số cách có ít nhất một nữ: $330 - 15 = 315$⁠.

b) Có 2 kiểu xen kẽ (nam ở ghế lẻ hoặc nữ ở ghế lẻ); mỗi kiểu xếp 3 nam vào 3 ghế có $3! = 6$ cách và 3 nữ vào 3 ghế có $3! = 6$ cách. Tổng: $2\cdot 6\cdot 6 = 72$ cách.

Ở câu a, nếu đếm "chọn 1 nữ trước rồi chọn 3 người bất kì" (⁠$5\cdot C_{10}^3 = 600$⁠) sẽ đếm trùng: một nhóm có hai nữ bị đếm hai lần.

$n(\Omega) = 6\cdot 6 = 36$⁠. Các kết quả có tổng $7$⁠: $(1; 6)$⁠, $(2; 5)$⁠, $(3; 4)$⁠, $(4; 3)$⁠, $(5; 2)$⁠, $(6; 1)$ — có $6$ kết quả.

$n(\Omega) = C_{12}^3 = 220$⁠. Chọn 2 nữ trong 5 và 1 nam trong 7: $n(A) = C_5^2\cdot C_7^1 = 10\cdot 7 = 70$⁠.

$n(\Omega) = C_{12}^2 = 66$⁠. Gọi $A$⁠: "tích là số chẵn"; khi đó $\overline{A}$⁠: "cả hai số đều lẻ". Tập có 6 số lẻ nên ${n(\overline{A}) = C_6^2 = 15}$⁠.

Đếm trực tiếp phải chia hai trường hợp (đúng một số chẵn: $6\cdot 6 = 36$⁠; hai số chẵn: $C_6^2 = 15$⁠; tổng $51$⁠) — dài hơn và dễ sót.

$P(A \cap B) = 0{,}6\cdot 0{,}5 = 0{,}3$ (độc lập).

$P(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}8$⁠. Cách khác: $1 - P(\overline{A})\cdot P(\overline{B}) = 1 - 0{,}4\cdot 0{,}5 = 0{,}8$⁠.

Gọi $A$⁠, $B$ lần lượt là "An bắn trúng", "Bình bắn trúng"; $A$⁠, $B$ độc lập nên $\overline{A}$⁠, $\overline{B}$ cũng độc lập.

a) Đúng. $P(A \cap B) = 0{,}8\cdot 0{,}7 = 0{,}56$⁠.

b) Sai. $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}2\cdot 0{,}3 = 0{,}06$⁠.

c) Đúng. Biến cố đối của "ít nhất một viên trúng" là "không ai trúng": $1 - 0{,}06 = 0{,}94$⁠.

d) Sai. "Đúng một người trúng" là hợp của hai biến cố xung khắc $A \cap \overline{B}$ và $\overline{A} \cap B$⁠: $0{,}8\cdot 0{,}3 + 0{,}2\cdot 0{,}7 = 0{,}24 + 0{,}14 = 0{,}38$⁠.

Gọi $S_1$⁠, $S_2$ là "cảm biến 1, cảm biến 2 phát hiện khói" (độc lập).

a) Đúng. $P(S_1 \cap S_2) = 0{,}9\cdot 0{,}8 = 0{,}72$⁠.

b) Đúng. Hệ thống không báo động khi cả hai cùng bỏ sót: $0{,}1\cdot 0{,}2 = 0{,}02$⁠. Vậy xác suất báo động là $1 - 0{,}02 = 0{,}98$⁠.

c) Sai. "Chỉ cảm biến 2 phát hiện" là $\overline{S_1} \cap S_2$⁠: $0{,}1\cdot 0{,}8 = 0{,}08$⁠. Số $0{,}8$ là xác suất cảm biến 2 phát hiện (không quan tâm cảm biến 1).

d) Sai. Ba cảm biến cùng bỏ sót: $0{,}1\cdot 0{,}2\cdot 0{,}3 = 0{,}006$⁠, nên xác suất báo động là $0{,}994 < 0{,}995$⁠. Thêm cảm biến làm hệ thống tin cậy hơn (⁠$0{,}98 \to 0{,}994$⁠) nhưng chưa vượt ngưỡng $0{,}995$⁠.

Mỗi vị trí có 10 cách chọn nên $n(\Omega) = 10^6$⁠.

Mã có 6 chữ số đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số: $n(A) = A_{10}^6 = 151\,200$⁠.

Mỗi bạn có 3 lựa chọn: $n(\Omega) = 3^5 = 243$ (các kết quả đồng khả năng).

Đếm phần bù $\overline{A}$⁠: "có câu lạc bộ không ai chọn".

• Đúng một câu lạc bộ bị bỏ trống: chọn câu lạc bộ trống (⁠$3$ cách), 5 bạn chia vào 2 câu lạc bộ còn lại sao cho cả hai đều có người: $2^5 - 2 = 30$ cách. Có $3\cdot 30 = 90$ kết quả.
• Hai câu lạc bộ bị bỏ trống (cả nhóm vào cùng một câu lạc bộ): $3$ kết quả.

$n(\overline{A}) = 93$⁠, nên $n(A) = 243 - 93 = 150$ và

Sai lầm hay gặp: lấy $3\cdot 2^5 = 96$ làm số kết quả "có câu lạc bộ trống" — cách này đếm ba trường hợp "cả nhóm vào một câu lạc bộ" hai lần.

Dùng hệ số $1$⁠; $4$⁠; $6$⁠; $4$⁠; $1$⁠:

Số hạng tổng quát: $C_5^k(2x)^{5 - k}(-1)^k$⁠. Lũy thừa $x^3$ ứng với $5 - k = 3$⁠, tức $k = 2$⁠: hệ số là $C_5^2\cdot 2^3\cdot(-1)^2 = 10\cdot 8 = 80$⁠.

Phương án nhiễu hay gặp: $10$ (quên $2^3$⁠) hoặc $-80$ (sai dấu).

Số hạng tổng quát:

Không chứa $x$ khi $4 - 2k = 0 \Leftrightarrow k = 2$⁠: số hạng đó bằng $C_4^2\cdot 2^2 = 6\cdot 4 = 24$⁠.

Kiểm tra bằng khai triển đầy đủ: $x^4 + 8x^2 + 24 + \dfrac{32}{x^2} + \dfrac{16}{x^4}$⁠.

$C_8^3 = \dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3!} = 56$⁠.

C. Mỗi cách xếp là một hoán vị của 5 bạn: $5! = 120$⁠. Phương án B là $5^5$ (cho phép một bạn ngồi nhiều ghế — vô lí).

Biến cố đối là "cả ba lần ngửa", xác suất $\dfrac{1}{8}$⁠. Vậy xác suất cần tìm là $1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$⁠.

Số hạng chứa $x^2$⁠: $C_4^2 x^2\cdot 3^2 = 54x^2$⁠. Hệ số là $54$⁠.

Coi A, B là một khối: xếp 4 "phần tử" có $4!$ cách, đổi chỗ A, B trong khối có $2$ cách. Xác suất $\dfrac{2\cdot 4!}{5!} = \dfrac{48}{120} = 0{,}4$⁠. Đáp số: 0,4.

a) Đúng. $C_{12}^3 = 220$⁠.

b) Đúng. $\dfrac{C_4^3 + C_5^3 + C_3^3}{220} = \dfrac{4 + 10 + 1}{220} = \dfrac{15}{220} = \dfrac{3}{44}$⁠.

c) Sai. $\dfrac{4\cdot 5\cdot 3}{220} = \dfrac{60}{220} = \dfrac{3}{11}$⁠.

d) Sai. Phần bù "không có bi đỏ": $\dfrac{C_8^3}{220} = \dfrac{56}{220}$⁠, nên xác suất cần tìm là $\dfrac{164}{220} = \dfrac{41}{55} \approx 0{,}745 < 0{,}75$⁠.

Phần bù: toàn nam (⁠$C_5^4 = 5$⁠) hoặc toàn nữ (⁠$C_6^4 = 15$⁠). $P = 1 - \dfrac{20}{330} = \dfrac{31}{33} \approx 0{,}94$⁠. Đáp số: 0,94.

$n(\Omega) = 6^3 = 216$⁠. Các bộ ba (không kể thứ tự) có tổng $9$⁠: $\{1; 2; 6\}$⁠, $\{1; 3; 5\}$⁠, $\{2; 3; 4\}$ (mỗi bộ cho $3! = 6$ thứ tự), $\{1; 4; 4\}$⁠, $\{2; 2; 5\}$ (mỗi bộ cho $3$ thứ tự), $\{3; 3; 3\}$ (⁠$1$ thứ tự). Tổng $3\cdot 6 + 2\cdot 3 + 1 = 25$ kết quả. $P = \dfrac{25}{216} \approx 0{,}116$⁠. Đáp số: 0,12.