Phương pháp tọa độ trong không gian

Phương pháp tọa độ trong không gian (⁠$Oxyz$⁠) thường có mặt ở cả ba phần của đề: phần I hỏi vectơ pháp tuyến, phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu; phần II thường có câu đúng/sai về tình huống thực tế (mái che, tấm kính, đường bay, tia sáng) với các ý tính khoảng cách, góc; phần III yêu cầu ra một con số như độ dài, góc, khoảng cách. Bài này gom toàn bộ công thức vào một chỗ, chỉ ra thứ tự làm cho từng dạng và luyện cách "dịch" tình huống thực tế sang ngôn ngữ tọa độ.

Kiến thức trọng tâm

Mặt phẳng

• Vectơ $\vec{n} \ne \vec{0}$ có giá vuông góc với $(P)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$⁠. Hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$⁠, $\vec{b}$ có giá song song hoặc nằm trong $(P)$ gọi là cặp vectơ chỉ phương; khi đó $\vec{n} = \left[\vec{a}, \vec{b}\right]$⁠.
• Mặt phẳng qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$⁠, vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a; b; c)$⁠:

• Phương trình tổng quát $ax + by + cz + d = 0$ (với $a^2 + b^2 + c^2 > 0$⁠) có $\vec{n} = (a; b; c)$⁠. Nhân cả phương trình với một số khác $0$ vẫn được cùng mặt phẳng, nên $k\vec{n}$ (⁠$k \ne 0$⁠) cũng là vectơ pháp tuyến.
• Mặt phẳng cắt các trục tại $(m; 0; 0)$⁠, $(0; n; 0)$⁠, $(0; 0; p)$ với $mnp \ne 0$ (phương trình đoạn chắn): ${\dfrac{x}{m} + \dfrac{y}{n} + \dfrac{z}{p} = 1}$⁠.
• $(P) \parallel (Q)$ khi hai vectơ pháp tuyến cùng phương (và hai mặt phẳng không trùng); ${(P) \perp (Q) \Leftrightarrow \vec{n}_P\cdot\vec{n}_Q = 0}$⁠.
• Các mặt phẳng tọa độ: $(Oxy)\colon z = 0$⁠, $(Oyz)\colon x = 0$⁠, $(Oxz)\colon y = 0$⁠.

Đường thẳng

Đường thẳng $d$ qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$⁠, vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$⁠:

• Phương trình tham số:

• Phương trình chính tắc (khi $abc \ne 0$⁠):

Mỗi giá trị của tham số $t$ cho đúng một điểm của $d$⁠. Vì vậy "điểm $M$ thuộc $d$" luôn viết được dạng $M(x_0 + at; y_0 + bt; z_0 + ct)$ — đây là chìa khóa của mọi bài tìm giao điểm, hình chiếu, khoảng cách ngắn nhất.

Vị trí tương đối của $d_1$ (qua $M_1$⁠, $\vec{u}_1$⁠) và $d_2$ (qua $M_2$⁠, $\vec{u}_2$⁠):

Mặt cầu

• Mặt cầu tâm $I(a; b; c)$⁠, bán kính $R$⁠: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$⁠.
• Phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là mặt cầu khi và chỉ khi $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$⁠; khi đó tâm $I(a; b; c)$⁠, $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$⁠.
• Với $h = d\left(I, (P)\right)$⁠: $h > R$ thì không cắt; $h = R$ thì $(P)$ tiếp xúc mặt cầu (tiếp điểm là hình chiếu của $I$ trên $(P)$⁠); $h < R$ thì cắt theo đường tròn bán kính $r = \sqrt{R^2 - h^2}$⁠.

Góc và khoảng cách

Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng

Muốn tìm hình chiếu $H$ của điểm $M$ trên $(P)$ (cũng là chân đường vuông góc, tiếp điểm của mặt cầu tâm $M$ tiếp xúc $(P)$⁠):

1. Viết đường thẳng qua $M$ nhận $\vec{n}_P$ làm vectơ chỉ phương: $H(x_M + at; y_M + bt; z_M + ct)$⁠.
2. Thay tọa độ $H$ vào phương trình $(P)$⁠, giải ra $t$⁠.
3. Kiểm tra: $MH$ phải bằng $d\left(M, (P)\right)$⁠.

Mô hình dưới đây dựng đúng các đối tượng trong Dạng 1 và Dạng 3: mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$⁠, $B$⁠, $C$⁠, mặt cầu $(S)$ tiếp xúc $(P)$ tại $H$⁠, và đường thẳng $\Delta$ qua tâm $I$ vuông góc với $(P)$⁠. Xoay hình để thấy $IH$ chính là bán kính vuông góc với mặt phẳng.

Dạng bài thường gặp trong đề thi

Mỗi dạng có phương pháp và ví dụ theo ba mức nhận biết, thông hiểu, vận dụng. Tự làm trước rồi mới mở lời giải.

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (phần I)

Phương pháp

1. Mọi bài viết mặt phẳng đều quy về hai thứ: một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến.
2. Tìm vectơ pháp tuyến theo dữ kiện: cho sẵn; song song với $(Q)$ thì dùng $\vec{n}_Q$⁠; vuông góc với đường thẳng $d$ thì dùng $\vec{u}_d$⁠; chứa hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$⁠, $\vec{b}$ (qua ba điểm, chứa hai đường, vuông góc với một mặt phẳng khác) thì dùng $\left[\vec{a}, \vec{b}\right]$⁠.
3. Rút gọn vectơ pháp tuyến (chia cho ước chung) cho số đẹp, viết phương trình, rồi thay ngược các điểm đã cho để kiểm tra.

Xem lời giải

Phương trình viết đủ là $2x + 0y - 3z + 5 = 0$⁠, nên $\vec{n} = (2; 0; -3)$⁠. Phương án nhiễu hay gặp là $(2; -3; 5)$ (bỏ sót hệ số $0$ của $y$ và lấy cả hằng số).

Thay $M$⁠: $2\cdot(-1) - 3\cdot 1 + 5 = 0$⁠, nên $M \in (P)$ — tung độ $4$ của $M$ không ảnh hưởng vì hệ số của $y$ bằng $0$⁠.

Xem lời giải

$\overrightarrow{AB} = (-2; 3; -2)$⁠, $\overrightarrow{AC} = (-2; 1; 0)$⁠.

$$\begin{aligned} & \left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right] \\ &= \big(3\cdot 0 - (-2)\cdot 1; \\ &\qquad (-2)\cdot(-2) - (-2)\cdot 0; \\ &\qquad (-2)\cdot 1 - 3\cdot(-2)\big) \\ &= (2; 4; 4). \end{aligned}$$

Chọn $\vec{n} = (1; 2; 2)$ (cùng phương). Mặt phẳng qua $A(2; 0; 2)$⁠:

$$\begin{aligned} & (x - 2) + 2y + 2(z - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow {} & x + 2y + 2z - 6 = 0. \end{aligned}$$

Thử lại: tọa độ của $B$⁠, $C$ đều thỏa mãn phương trình.

Xem lời giải

$(Q)$ chứa đường thẳng $AB$ nên chứa vectơ $\overrightarrow{AB} = (1; 1; -2)$⁠; $(Q) \perp (P)$ nên $(Q)$ chứa (song song với) vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P = (1; 2; 2)$⁠. Hai vectơ này không cùng phương, nên

$$\begin{aligned} \vec{n}_Q &= \left[\overrightarrow{AB}, \vec{n}_P\right] \\ &= \big(1\cdot 2 - (-2)\cdot 2; \\ &\qquad (-2)\cdot 1 - 1\cdot 2; \\ &\qquad 1\cdot 2 - 1\cdot 1\big) \\ &= (6; -4; 1). \end{aligned}$$

$(Q)\colon 6(x - 1) - 4y + (z - 2) = 0 \Leftrightarrow 6x - 4y + z - 8 = 0$⁠.

Kiểm tra: $B$ thỏa mãn (⁠$12 - 4 + 0 - 8 = 0$⁠) và $\vec{n}_Q\cdot\vec{n}_P = 6 - 8 + 2 = 0$⁠.

Dạng 2: Phương trình đường thẳng, giao điểm, vị trí tương đối (phần I)

Phương pháp

1. Đường thẳng cần một điểm và một vectơ chỉ phương: qua hai điểm $A$⁠, $B$ thì $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$⁠; vuông góc với $(P)$ thì $\vec{u} = \vec{n}_P$⁠; song song với $d'$ thì $\vec{u} = \vec{u}_{d'}$⁠.
2. Đọc phương trình chính tắc $\dfrac{x - x_0}{a} = \dots$⁠: điểm là $(x_0; y_0; z_0)$ (đổi dấu), vectơ chỉ phương là mẫu số $(a; b; c)$⁠.
3. Giao điểm của $d$ với $(P)$⁠: thay phương trình tham số vào $(P)$⁠, giải $t$⁠.
4. Hai đường thẳng: kiểm tra vectơ chỉ phương có cùng phương không, rồi giải hệ hai tham số $t$⁠, $s$ (dùng hai phương trình tìm $t$⁠, $s$⁠, thử lại phương trình thứ ba).

Xem lời giải

$d$ đi qua $M_0(-2; 1; 5)$ (đổi dấu các số trên tử) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (3; -2; 1)$⁠.

Thay $N$⁠: $\dfrac{4 + 2}{3} = 2$⁠, $\dfrac{-3 - 1}{-2} = 2$⁠, $\dfrac{7 - 5}{1} = 2$⁠. Ba tỉ số bằng nhau nên $N \in d$ (ứng với $t = 2$⁠).

Xem lời giải

$\Delta \perp (P)$ nên $\vec{u}_\Delta = \vec{n}_P = (1; -2; 2)$⁠:

$$\Delta\colon \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 - 2t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$$

hay viết dạng chính tắc

$$\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y + 1}{-2} = \dfrac{z - 3}{2}.$$

Thay vào $(P)$⁠: $(2 + t) - 2(-1 - 2t) + 2(3 + 2t) - 1 = 0 \Leftrightarrow 9 + 9t = 0 \Leftrightarrow t = -1$⁠. Vậy $H(1; 1; 1)$ — chính là hình chiếu của $M$ trên $(P)$⁠.

Kiểm tra: $MH = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ và $d\left(M, (P)\right) = \dfrac{\lvert 2 + 2 + 6 - 1\rvert}{3} = 3$⁠.

Xem lời giải

$\vec{u}_1 = (1; -1; 2)$⁠, $\vec{u}_2 = (1; 2; -1)$ không cùng phương (⁠$\dfrac{1}{1} \ne \dfrac{-1}{2}$⁠), nên $d_1$⁠, $d_2$ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Giải hệ từ hai phương trình đầu: $1 + t = 3 + s$ và $2 - t = 3 + 2s$⁠. Cộng vế: $3 = 6 + 3s \Rightarrow s = -1$⁠, suy ra $t = 1$⁠.

Thử phương trình thứ ba: $3 + 2\cdot 1 = 5$ và $4 - (-1) = 5$ — thỏa mãn. Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm $(2; 1; 5)$⁠.

Nếu phương trình thứ ba không thỏa mãn thì hai đường thẳng chéo nhau.

Dạng 3: Mặt cầu (phần I)

Phương pháp

1. Dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$⁠: tâm $(a; b; c)$ — đổi dấu số trong ngoặc; bán kính là căn của vế phải.
2. Dạng khai triển: tâm $(a; b; c)$ với $a$⁠, $b$⁠, $c$ bằng hệ số của $x$⁠, $y$⁠, $z$ chia cho $-2$; $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$ (cần biểu thức dưới căn dương).
3. Viết mặt cầu: tìm tâm và bán kính — đường kính $AB$ thì tâm là trung điểm, $R = \dfrac{AB}{2}$⁠; tiếp xúc $(P)$ thì $R = d\left(I, (P)\right)$⁠; đi qua $A$ thì $R = IA$⁠.
4. Mặt cầu và mặt phẳng: so sánh $h = d\left(I, (P)\right)$ với $R$⁠.

Xem lời giải

Chia các hệ số của $x$⁠, $y$⁠, $z$ cho $-2$⁠: $a = 2$⁠, $b = -3$⁠, $c = 1$⁠; hằng số $d = -2$⁠.

Tâm $I(2; -3; 1)$⁠, bán kính $R = \sqrt{4 + 9 + 1 - (-2)} = \sqrt{16} = 4$⁠.

Xem lời giải

Tâm là trung điểm $I(2; 1; 1)$ của $AB$⁠. $\overrightarrow{AB} = (-2; 4; -2)$ nên $AB = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ và $R = \sqrt{6}$⁠.

$$\begin{aligned} (S)\colon\ & (x - 2)^2 + (y - 1)^2 \\ & + (z - 1)^2 = 6. \end{aligned}$$

Chú ý vế phải là $R^2 = 6$⁠, không phải $\sqrt{6}$ hay $24$⁠.

Xem lời giải

$R = d\left(I, (P)\right) = \dfrac{\lvert 1 + 8 + 6 - 6\rvert}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 3$⁠, nên $(S)\colon (x - 1)^2 + (y - 4)^2 + (z - 3)^2 = 9$⁠.

Tiếp điểm là hình chiếu của $I$ trên $(P)$⁠. Đường thẳng $\Delta$ qua $I$ vuông góc với $(P)$⁠: ${x = 1 + t}$⁠, ${y = 4 + 2t}$⁠, ${z = 3 + 2t}$⁠. Thay vào $(P)$⁠: $9t + 9 = 0 \Rightarrow t = -1$⁠, nên $H(0; 2; 1)$⁠.

Dạng 4: Góc và khoảng cách (phần I)

Phương pháp

1. Xác định đúng cặp vectơ: góc giữa hai đường dùng hai $\vec{u}$⁠; giữa hai mặt dùng hai $\vec{n}$⁠; giữa đường và mặt dùng $\vec{u}$ với $\vec{n}$ và công thức sin.
2. Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng: thay tọa độ điểm vào vế trái phương trình, lấy trị tuyệt đối, chia cho độ dài vectơ pháp tuyến.
3. Bài "tìm điểm cách mặt phẳng một khoảng cho trước": đặt tọa độ điểm theo một ẩn, lập phương trình chứa trị tuyệt đối — thường có hai nghiệm (hai phía của mặt phẳng).

Xem lời giải

Thay tọa độ của $M$ vào vế trái của phương trình $(P)$⁠: $2\cdot 1 - (-2) + 2\cdot 3 + 1 = 11$⁠. Do đó

$$d\left(M, (P)\right) = \dfrac{\lvert 11\rvert}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{11}{3}.$$

Xem lời giải

a) $\vec{u} = (1; 0; 1)$⁠, $\vec{n} = (1; 2; 2)$⁠: $\sin\left(d, (P)\right) = \dfrac{\lvert 1 + 0 + 2\rvert}{\sqrt{2}\cdot 3} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$⁠, nên góc bằng $45^\circ$⁠.

b) $(Oxy)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{k} = (0; 0; 1)$⁠: $\cos = \dfrac{\lvert 2\rvert}{3\cdot 1} = \dfrac{2}{3}$⁠, nên góc $\approx 48{,}2^\circ$⁠.

Xem lời giải

$M \in Ox$ nên $M(m; 0; 0)$⁠. Khi đó

$$\begin{aligned} & d\left(M, (P)\right) = \dfrac{\lvert 2m - 4\rvert}{3} = 2 \\ \Leftrightarrow {} & \lvert 2m - 4\rvert = 6. \end{aligned}$$

$2m - 4 = 6 \Leftrightarrow m = 5$ hoặc $2m - 4 = -6 \Leftrightarrow m = -1$⁠. Có hai điểm: $M(5; 0; 0)$ và $M(-1; 0; 0)$⁠, nằm ở hai phía của $(P)$⁠. Bỏ trị tuyệt đối mà chỉ lấy một nghiệm là thiếu đáp án.

Dạng 5: Tình huống thực tế — câu đúng/sai (phần II)

Phương pháp

1. "Dịch" từng vật thể sang đối tượng hình học: tấm kính, mái, bức tường → mặt phẳng; tia sáng, đường bay, sợi cáp → đường thẳng; vùng phủ sóng → mặt cầu; mặt đất là $(Oxy)$⁠, độ cao là cao độ $z$⁠.
2. Chuyển động thẳng đều với tốc độ $v$ theo hướng $\vec{u}$⁠: vectơ vận tốc là $\dfrac{v}{\lvert\vec{u}\rvert}\vec{u}$⁠; vị trí sau $t$ giây = vị trí đầu + $t$ lần vectơ vận tốc.
3. Mỗi ý là một phép tính độc lập (khoảng cách, góc, giao điểm); ý sai thường sai ở bước làm tròn hoặc dùng nhầm công thức sin/cos.

Xem lời giải

a) Đúng. Hệ số của $x$⁠, $y$⁠, $z$ là $(1; 2; 2)$⁠.

b) Đúng. $d\left(I, (P)\right) = \dfrac{\lvert 1 + 8 + 6 - 6\rvert}{3} = 3$⁠.

c) Sai. Điểm $(1; 2; 0)$ không thuộc $(P)$ vì $1 + 4 + 0 - 6 = -1 \ne 0$⁠; chân đường vuông góc là $H(0; 2; 1)$ (Dạng 3).

d) Sai. Góc giữa $(P)$ và sàn có $\cos = \dfrac{2}{3}$⁠, tức khoảng $48{,}2^\circ < 50^\circ$⁠.

Xem lời giải

a) Đúng. $\lvert\vec{u}\rvert = 3$ nên vectơ vận tốc là $\dfrac{6}{3}\vec{u} = (4; 4; 2)$ (độ dài $6$⁠), vị trí sau $t$ giây là $O + t(4; 4; 2)$⁠.

b) Sai. Thay vào $(P)$⁠: $4t + 4t - 60 = 0 \Leftrightarrow t = 7{,}5$ giây.

c) Đúng. Khi $t = 7{,}5$⁠, cao độ là $z = 2\cdot 7{,}5 = 15$⁠; điểm chạm là $(30; 30; 15)$⁠.

d) Sai. Góc giữa đường bay và mặt đất (mặt phẳng có $\vec{k} = (0; 0; 1)$⁠) có $\sin = \dfrac{\lvert\vec{u}\cdot\vec{k}\rvert}{\lvert\vec{u}\rvert} = \dfrac{1}{3}$⁠, góc $\approx 19{,}5^\circ < 20^\circ$⁠. Nếu dùng nhầm cos sẽ ra khoảng $70{,}5^\circ$⁠.

Dạng 6: Bài toán thực tế trả lời ngắn (phần III)

Phương pháp

1. Vẽ phác hình, đặt tên điểm, xác định đại lượng cần tìm là độ dài, góc, diện tích hay thời gian.
2. Dùng đường thẳng tham số cho mọi thứ "di chuyển" hoặc "chiếu": bóng, tia sáng, đường bay.
3. Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm tới một đường bay: viết bình phương khoảng cách theo $t$ (một tam thức bậc hai) và tìm giá trị nhỏ nhất, hoặc dùng điều kiện vectơ nối vuông góc với vectơ chỉ phương.
4. Làm tròn ở bước cuối; nếu đề hỏi diện tích hình tròn, nhớ nhân $\pi$⁠.

Xem lời giải

Bóng của đỉnh $T$ là giao điểm của đường thẳng qua $T$ theo hướng $\vec{u}$ với mặt đất $z = 0$⁠: $x = 2t$⁠, $y = t$⁠, $z = 6 - 3t$⁠; $z = 0 \Leftrightarrow t = 2$⁠, được $T'(4; 2; 0)$⁠.

Bóng là đoạn $OT'$⁠: $OT' = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\,(\text{m})$⁠.

Xem lời giải

Sàn là mặt phẳng $z = 0$⁠. Khoảng cách từ $I$ đến sàn là $h = \lvert z_I\rvert = 4 < 10$⁠, nên mặt cầu cắt sàn theo đường tròn có tâm $(2; 3; 0)$ và bán kính

$$\begin{aligned} r &= \sqrt{R^2 - h^2} = \sqrt{100 - 16} \\ &= \sqrt{84} \approx 9{,}17\ (\text{m}). \end{aligned}$$

Diện tích: $S = \pi r^2 = 84\pi \approx 263{,}89\,\text{m}^2$⁠. Đáp số: $264$⁠. Không cần tính $r$ ra số thập phân — giữ $r^2 = 84$ để tránh sai số.

Xem lời giải

$\overrightarrow{KM} = (-14 + 6t;\ -7 + 2t;\ 3t)$⁠. Bình phương khoảng cách:

$$\begin{aligned} KM^2 &= (-14 + 6t)^2 \\ &\quad + (-7 + 2t)^2 + (3t)^2 \\ &= 49t^2 - 196t + 245. \end{aligned}$$

Tam thức bậc hai này nhỏ nhất tại $t = \dfrac{196}{2\cdot 49} = 2$ (thuộc đoạn $[0; 10]$⁠), khi đó $KM^2 = 196 - 392 + 245 = 49$⁠. Khoảng cách ngắn nhất là $7\,\text{m}$⁠, đạt khi cabin ở $H(2; 6; 6)$⁠.

Kiểm tra bằng hình học: vectơ chỉ phương $\vec{u} = (6; 2; 3)$ và $\overrightarrow{KH} = (-2; -3; 6)$ có $\vec{u}\cdot\overrightarrow{KH} = -12 - 6 + 18 = 0$⁠, tức $KH$ vuông góc với đường đi của cabin — đúng là chân đường vuông góc.

Lỗi thường gặp

Mẹo làm bài

Tự luyện

Tám câu trộn đủ ba dạng câu hỏi của đề. Làm xong cả bài rồi mới mở đáp án.

1. (Phần I) Viết phương trình mặt phẳng đi qua $M(1; -2; 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; -1; 4)$⁠.

Xem đáp án

$2(x - 1) - (y + 2) + 4(z - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 4z - 16 = 0$⁠.

2. (Phần I) Tâm và bán kính của mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4z - 4 = 0$ là

   A. $I(1; 0; -2)$⁠, $R = 3$ · B. $I(-1; 0; 2)$⁠, $R = 9$ · C. $I(-1; 0; 2)$⁠, $R = 3$ · D. $I(2; 0; -4)$⁠, $R = 3$

Xem đáp án

C. Chia hệ số cho $-2$⁠: $a = -1$⁠, $b = 0$⁠, $c = 2$⁠; $d = -4$⁠. $R = \sqrt{1 + 0 + 4 + 4} = 3$⁠. Phương án A sai dấu tâm, B nhầm $R^2$ với $R$⁠, D quên chia cho $-2$⁠.

3. (Phần I) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $2x - y + 2z + 1 = 0$ và $2x - y + 2z - 8 = 0$⁠.

Xem đáp án

Hai mặt phẳng song song, cùng bộ hệ số: $\dfrac{\lvert 1 - (-8)\rvert}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{9}{3} = 3$⁠.

4. (Phần I) Tính góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1 = (1; 1; 0)$ và $\vec{u}_2 = (0; 1; 1)$⁠.

Xem đáp án

$\cos = \dfrac{\lvert 0 + 1 + 0\rvert}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$⁠, góc bằng $60^\circ$⁠.

5. (Phần I) Mặt cầu tâm $O$⁠, bán kính $5$ cắt mặt phẳng $x + 2y + 2z - 9 = 0$ theo một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.

Xem đáp án

$h = \dfrac{\lvert -9\rvert}{3} = 3 < 5$⁠, nên $r = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$⁠.

6. (Phần I) Mặt phẳng $(Q)$ cắt các trục $Ox$⁠, $Oy$⁠, $Oz$ lần lượt tại $(3; 0; 0)$⁠, $(0; -2; 0)$⁠, $(0; 0; 6)$⁠. Viết phương trình tổng quát của $(Q)$⁠.

Xem đáp án

Phương trình đoạn chắn: $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{-2} + \dfrac{z}{6} = 1$⁠. Nhân hai vế với $6$⁠: $2x - 3y + z - 6 = 0$⁠.

7. (Phần II) Cho mặt phẳng $(P)\colon 2x + y - 2z + 3 = 0$ và điểm $A(1; 2; -1)$⁠. Xét tính đúng sai:

   a) $\vec{n} = (2; 1; -2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$⁠.

   b) Khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ bằng $3$⁠.

   c) Hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(P)$ là điểm $(3; 3; -3)$⁠.

   d) Mặt cầu tâm $A$ tiếp xúc với $(P)$ có phương trình $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 3$⁠.

Xem đáp án

a) Đúng. Đọc hệ số của $x$⁠, $y$⁠, $z$⁠.

b) Đúng. $\dfrac{\lvert 2 + 2 + 2 + 3\rvert}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{9}{3} = 3$⁠.

c) Sai. Đường vuông góc: $(1 + 2t; 2 + t; -1 - 2t)$⁠; thay vào $(P)$⁠: $9 + 9t = 0 \Rightarrow t = -1$⁠, hình chiếu là $(-1; 1; 1)$⁠. Điểm $(3; 3; -3)$ ứng với $t = 1$ (đi sai chiều) và không thuộc $(P)$⁠.

d) Sai. $R = 3$ nên vế phải phải là $R^2 = 9$⁠.

8. (Phần III) Mái của một nhà kính là một tấm kính phẳng đi qua ba điểm $A(0; 0; 3)$⁠, $B(8; 0; 3)$⁠, $C(0; 6; 7)$ trong hệ trục $Oxyz$ có mặt đất là $(Oxy)$ (đơn vị mét). Tính góc giữa mái kính và mặt đất (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Xem đáp án

$\overrightarrow{AB} = (8; 0; 0)$⁠, $\overrightarrow{AC} = (0; 6; 4)$⁠, $\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right] = (0; -32; 48)$⁠, chọn $\vec{n} = (0; 2; -3)$⁠; mái nằm trên mặt phẳng $2y - 3z + 9 = 0$⁠.

$\cos = \dfrac{\lvert\vec{n}\cdot\vec{k}\rvert}{\lvert\vec{n}\rvert} = \dfrac{3}{\sqrt{13}} \approx 0{,}832$⁠, góc $\approx 33{,}7^\circ$⁠. Đáp số: 34.