Các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm – Ôn thi Toán

Mục lục (5 phần)

Thống kê mẫu số liệu ghép nhóm thường xuất hiện trong đề: hay gặp ở phần I (tính một số đặc trưng từ bảng tần số), đôi khi ở phần II hoặc III (so sánh độ phân tán của hai mẫu, tính độ lệch chuẩn, tìm tần số chưa biết). Đây là dạng "tính đúng là có điểm": chỉ cần thuộc công thức, xác định đúng nhóm và cẩn thận khi bấm máy. Bài này đi qua công thức, ý nghĩa của từng số đặc trưng và 4 dạng bài theo ba mức độ.

Kiến thức trọng tâm

Mẫu số liệu ghép nhóm

Mẫu được chia thành $k$ nhóm $[a_1; a_2)$ ⁠, $[a_2; a_3)$ ⁠, ..., $[a_k; a_{k+1})$ với tần số $m_1, m_2, \dots, m_k$ ⁠; cỡ mẫu ${n = m_1 + m_2 + \dots + m_k}$ ⁠.

Giá trị đại diện của nhóm $[a_i; a_{i+1})$ là trung điểm $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$ ⁠.
Tần số tích lũy của nhóm thứ $i$ là $cf_i = m_1 + m_2 + \dots + m_i$ — số giá trị nhỏ hơn $a_{i+1}$ ⁠.
Độ dài nhóm $h = a_{i+1} - a_i$ (thường các nhóm có cùng độ dài).

Ghép nhóm làm mất thông tin chi tiết: ta chỉ biết có $m_i$ giá trị nằm trong nhóm, không biết chính xác chúng bằng bao nhiêu. Vì vậy mọi số đặc trưng tính từ bảng ghép nhóm đều là giá trị xấp xỉ của số đặc trưng của mẫu gốc. Khi số liệu gốc là số nguyên và các nhóm được viết rời nhau như $40$ – $44$ ⁠, $45$ – $49$ ⁠, ta có thể hiệu chỉnh thành $[39{,}5; 44{,}5)$ ⁠, $[44{,}5; 49{,}5)$ để các nhóm liền nhau rồi mới áp dụng công thức.

Số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Số đặc trưng	Công thức
Số trung bình	$\bar{x} = \dfrac{m_1x_1 + m_2x_2 + \dots + m_kx_k}{n}$
Trung vị $M_e$	Nhóm $[a_p; a_{p+1})$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge \dfrac{n}{2}$ ⁠: $M_e = a_p + \dfrac{\frac{n}{2} - cf_{p-1}}{m_p}\cdot h$
Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$	Như trung vị, thay $\dfrac{n}{2}$ bằng $\dfrac{n}{4}$
Tứ phân vị thứ ba $Q_3$	Như trung vị, thay $\dfrac{n}{2}$ bằng $\dfrac{3n}{4}$
Mốt $M_o$	Nhóm $[a_j; a_{j+1})$ có tần số lớn nhất: $M_o = a_j + \dfrac{m_j - m_{j-1}}{(m_j - m_{j-1}) + (m_j - m_{j+1})}\cdot h$

Trong công thức trung vị, $cf_{p-1}$ là tần số tích lũy của nhóm đứng trước nhóm chứa trung vị (⁠ $cf_0 = 0$ ⁠). Trong công thức mốt, nếu nhóm có tần số lớn nhất là nhóm đầu thì coi $m_{j-1} = 0$ ⁠, là nhóm cuối thì coi $m_{j+1} = 0$ ⁠. Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ chính là trung vị.

Ý nghĩa: số trung bình là "trọng tâm" của mẫu nhưng dễ bị kéo lệch bởi vài giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ; trung vị chia mẫu thành hai nửa bằng nhau nên ổn định hơn; mốt cho biết vùng giá trị xuất hiện nhiều nhất. Ba tứ phân vị $Q_1$ ⁠, $Q_2$ ⁠, $Q_3$ chia mẫu đã sắp thứ tự thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng $25\%$ số giá trị.

Số đặc trưng đo độ phân tán

Số đặc trưng	Công thức và ý nghĩa
Khoảng biến thiên	$R = a_{k+1} - a_1$
	Đơn giản nhưng phụ thuộc giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Khoảng tứ phân vị	$\Delta_Q = Q_3 - Q_1$
	Độ phân tán của nửa giữa mẫu, ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường
Phương sai	$s^2 = \dfrac{m_1(x_1 - \bar{x})^2 + \dots + m_k(x_k - \bar{x})^2}{n}$
	Trung bình bình phương độ lệch so với $\bar{x}$
Phương sai (dạng tính nhanh)	$s^2 = \dfrac{m_1x_1^2 + \dots + m_kx_k^2}{n} - \bar{x}^2$
	Dùng khi $\bar{x}$ lẻ
Độ lệch chuẩn	$s = \sqrt{s^2}$
	Cùng đơn vị với số liệu; $s$ càng nhỏ, số liệu càng tập trung quanh $\bar{x}$

Dạng bài thường gặp trong đề thi

Mỗi dạng có phương pháp và ví dụ theo ba mức nhận biết, thông hiểu, vận dụng. Tự làm trước rồi mới mở lời giải.

Các ví dụ thông hiểu của Dạng 1–3 dùng chung bảng sau (số liệu minh họa).

Quãng đường đi bộ mỗi ngày của 50 người tham gia một chương trình rèn luyện sức khỏe:

Quãng đường (km)	Số người
$[0; 2)$	5
$[2; 4)$	12
$[4; 6)$	18
$[6; 8)$	10
$[8; 10)$	5

Quãng đường đi bộ mỗi ngày (số liệu minh họa)

Quãng đường đi bộ mỗi ngày (số liệu minh họa)
	Số người (Số người)
[0; 2)	5
[2; 4)	12
[4; 6)	18
[6; 8)	10
[8; 10)	5

Biểu đồ tần số của mẫu ghép nhóm; nhóm

[4; 6)

có tần số lớn nhất nên chứa mốt.

Bảng tính phụ nên viết ra nháp trước khi làm bất kì câu nào (cột tần số tích lũy dùng cho trung vị, tứ phân vị):

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số	Tần số tích lũy
$[0; 2)$	$1$	$5$	$5$
$[2; 4)$	$3$	$12$	$17$
$[4; 6)$	$5$	$18$	$35$
$[6; 8)$	$7$	$10$	$45$
$[8; 10)$	$9$	$5$	$50$

Dạng 1: Số trung bình và mốt (phần I)

Phương pháp

Viết giá trị đại diện (trung điểm) của từng nhóm.
Số trung bình: nhân giá trị đại diện với tần số, cộng lại, chia cho $n$ ⁠.
Mốt: tìm nhóm có tần số lớn nhất, đọc đúng tần số của hai nhóm liền kề rồi thay vào công thức.
Bài cho tần số chưa biết: lập phương trình theo dữ kiện (số trung bình, cỡ mẫu, nhóm chứa mốt) rồi giải.

Ví dụ

Nhận biết. Thời gian đọc sách mỗi ngày của 40 học sinh được cho trong bảng (số liệu minh họa). Tìm giá trị đại diện của mỗi nhóm, số trung bình và mốt của mẫu số liệu.

Thời gian (phút)	Số học sinh
$[0; 10)$	6
$[10; 20)$	14
$[20; 30)$	12
$[30; 40)$	8

Xem lời giải

Giá trị đại diện: $5$ ⁠; $15$ ⁠; $25$ ⁠; $35$ ⁠.

Tổng các tích (tần số × giá trị đại diện): $6\cdot 5 + 14\cdot 15 + 12\cdot 25 + 8\cdot 35 = 820$ ⁠, nên

\bar{x} = \dfrac{820}{40} = 20{,}5.

Số trung bình là $20{,}5$ phút.

Nhóm $[10; 20)$ có tần số lớn nhất $14$ ⁠; hai nhóm liền kề có tần số $6$ và $12$ ⁠, nên $m_j - m_{j-1} = 8$ và $m_j - m_{j+1} = 2$ ⁠:

M_o = 10 + \dfrac{8}{8 + 2}\cdot 10 = 18.

Mốt là $18$ phút: thời gian đọc sách hay gặp nhất là khoảng 18 phút mỗi ngày.

Xem lời giải

Số trung bình: tổng các tích $5\cdot 1 + 12\cdot 3 + 18\cdot 5 + 10\cdot 7 + 5\cdot 9 = 246$ ⁠, nên $\bar{x} = \dfrac{246}{50} = 4{,}92$ (km).

Mốt: nhóm $[4; 6)$ có tần số lớn nhất (⁠ $m_j = 18$ ⁠, $m_{j-1} = 12$ ⁠, $m_{j+1} = 10$ ⁠), nên $m_j - m_{j-1} = 6$ và $m_j - m_{j+1} = 8$ ⁠:

\begin{aligned} M_o &= 4 + \dfrac{6}{6 + 8}\cdot 2 \\ &= 4 + \dfrac{6}{7} \approx 4{,}86. \end{aligned}

Ví dụ

Vận dụng. Chiều cao của một nhóm học sinh được cho trong bảng, trong đó $m$ là số nguyên dương chưa biết (số liệu minh họa). Biết số trung bình của mẫu số liệu bằng $160\,\text{cm}$ ⁠. Tìm $m$ ⁠.

Chiều cao (cm)	Số học sinh
$[150; 155)$	5
$[155; 160)$	$m$
$[160; 165)$	12
$[165; 170)$	6

Xem lời giải

Giá trị đại diện: $152{,}5$ ⁠; $157{,}5$ ⁠; $162{,}5$ ⁠; $167{,}5$ ⁠. Cỡ mẫu $n = 23 + m$ ⁠. Số trung bình bằng $160$ nên tổng các tích (tần số × giá trị đại diện) bằng $160n$ ⁠:

\begin{aligned} & 5\cdot 152{,}5 + 157{,}5m + 12\cdot 162{,}5 \\ & + 6\cdot 167{,}5 = 160(23 + m). \end{aligned}

Vế trái bằng $762{,}5 + 157{,}5m + 1950 + 1005 = 3717{,}5 + 157{,}5m$ ⁠, nên

\begin{aligned} & 3717{,}5 + 157{,}5m \\ & = 3680 + 160m \\ \Leftrightarrow {} & 2{,}5m = 37{,}5 \\ \Leftrightarrow {} & m = 15. \end{aligned}

Kiểm tra: $n = 38$ ⁠, tổng $3717{,}5 + 2362{,}5 = 6080$ ⁠, và $\dfrac{6080}{38} = 160$ ⁠. Mẹo nhanh: trừ $160$ vào mọi giá trị đại diện (độ lệch $-7{,}5$ ⁠; $-2{,}5$ ⁠; $2{,}5$ ⁠; $7{,}5$ ⁠), tổng các tích (tần số × độ lệch) phải bằng $0$ ⁠: $-37{,}5 - 2{,}5m + 30 + 45 = 0$ ⁠.

Dạng 2: Trung vị, tứ phân vị và khoảng tứ phân vị (phần I)

Phương pháp

Lập cột tần số tích lũy.
Tính vị trí: $\dfrac{n}{4}$ cho $Q_1$ ⁠, $\dfrac{n}{2}$ cho $M_e$ ⁠, $\dfrac{3n}{4}$ cho $Q_3$ ⁠.
Nhóm chứa số cần tìm là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng vị trí đó.
Thay vào công thức với $a_p$ là đầu mút trái, $m_p$ là tần số của chính nhóm đó, $cf_{p-1}$ là tần số tích lũy của nhóm trước.
Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$ ⁠: tính $Q_1$ ⁠, $Q_3$ chính xác (để dạng phân số) rồi mới trừ và làm tròn.

Ví dụ

Nhận biết. Thời gian luyện tập trong một tháng của 60 vận động viên được cho trong bảng (số liệu minh họa). Trung vị và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu lần lượt thuộc nhóm nào?

Thời gian (giờ)	Số vận động viên
$[40; 50)$	8
$[50; 60)$	15
$[60; 70)$	20
$[70; 80)$	12
$[80; 90)$	5

Xem lời giải

Tần số tích lũy: $8$ ⁠; $23$ ⁠; $43$ ⁠; $55$ ⁠; $60$ ⁠.

$\dfrac{n}{2} = 30$ ⁠: nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge 30$ là $[60; 70)$ (vì $23 < 30 \le 43$ ⁠) — chứa trung vị.
$\dfrac{3n}{4} = 45$ ⁠: nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge 45$ là $[70; 80)$ (vì $43 < 45 \le 55$ ⁠) — chứa $Q_3$ ⁠.

Không chọn nhóm $[60; 70)$ cho $Q_3$ chỉ vì nó có tần số lớn nhất: tần số lớn nhất là dấu hiệu của mốt, không phải của tứ phân vị.

Xem lời giải

Trung vị: $\dfrac{n}{2} = 25$ ⁠; nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge 25$ là $[4; 6)$ ⁠, nhóm trước có $cf = 17$ ⁠:

\begin{aligned} M_e &= 4 + \dfrac{25 - 17}{18}\cdot 2 \\ &= \dfrac{44}{9} \approx 4{,}89. \end{aligned}

$Q_1$ ⁠: $\dfrac{n}{4} = 12{,}5$ ⁠; nhóm $[2; 4)$ (nhóm trước có $cf = 5$ ⁠):

Q_1 = 2 + \dfrac{12{,}5 - 5}{12}\cdot 2 = 3{,}25.

$Q_3$ ⁠: $\dfrac{3n}{4} = 37{,}5$ ⁠; nhóm $[6; 8)$ (nhóm trước có $cf = 35$ ⁠):

Q_3 = 6 + \dfrac{37{,}5 - 35}{10}\cdot 2 = 6{,}5.

Vậy $\Delta_Q = 6{,}5 - 3{,}25 = 3{,}25$ (km): một nửa số người ở giữa có quãng đường đi bộ chênh nhau không quá khoảng $3{,}25\,\text{km}$ ⁠.

Ví dụ

Vận dụng thực tế. Thời gian chờ được phục vụ (phút) của 50 khách hàng tại một quầy giao dịch được ghi lại như sau (số liệu minh họa). Quản lí muốn đánh giá mức chênh lệch thời gian chờ của nhóm khách "điển hình" bằng khoảng tứ phân vị. Tính khoảng tứ phân vị (làm tròn đến hàng phần trăm).

Thời gian chờ (phút)	Số khách
$[0; 4)$	10
$[4; 8)$	18
$[8; 12)$	14
$[12; 16)$	6
$[16; 20)$	2

Xem lời giải

Tần số tích lũy: $10$ ⁠; $28$ ⁠; $42$ ⁠; $48$ ⁠; $50$ ⁠.

$\dfrac{n}{4} = 12{,}5$ thuộc nhóm $[4; 8)$ ⁠:

Q_1 = 4 + \dfrac{12{,}5 - 10}{18}\cdot 4 = 4 + \dfrac{5}{9}.

$\dfrac{3n}{4} = 37{,}5$ thuộc nhóm $[8; 12)$ ⁠:

Q_3 = 8 + \dfrac{37{,}5 - 28}{14}\cdot 4 = 8 + \dfrac{19}{7}.

\begin{aligned} \Delta_Q &= 4 + \dfrac{19}{7} - \dfrac{5}{9} \\ &= 4 + \dfrac{136}{63} \approx 6{,}1587. \end{aligned}

Đáp số: $6{,}16$ (phút). Nếu làm tròn trước $Q_1 \approx 4{,}56$ ⁠, $Q_3 \approx 10{,}71$ rồi mới trừ sẽ được $6{,}15$ — sai ở chữ số cuối. Ý nghĩa thực tế: $25\%$ khách chờ lâu nhất phải chờ từ khoảng $10{,}71$ phút trở lên.

Dạng 3: Phương sai và độ lệch chuẩn (phần I, phần II)

Phương pháp

Tính $\bar{x}$ (giữ nguyên dạng phân số hoặc số thập phân hữu hạn).
Nếu $\bar{x}$ đẹp, dùng định nghĩa $s^2 = \dfrac{1}{n}\sum m_i(x_i - \bar{x})^2$ ⁠; nếu $\bar{x}$ lẻ, dùng dạng tính nhanh $s^2 = \dfrac{1}{n}\sum m_ix_i^2 - \bar{x}^2$ ⁠.
Lấy căn để ra độ lệch chuẩn; làm tròn ở bước cuối.
Câu đúng/sai: thường trộn ý về giá trị đại diện, số trung bình, nhóm chứa trung vị và độ lệch chuẩn — làm bảng tính phụ một lần cho cả 4 ý.

Xem lời giải

$s = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5$ ⁠. Độ lệch chuẩn có đơn vị kg (cùng đơn vị với số liệu), còn phương sai có đơn vị $\text{kg}^2$ ⁠. Vì thế khi nói "các giá trị lệch khỏi trung bình khoảng bao nhiêu" ta dùng độ lệch chuẩn $2{,}5\,\text{kg}$ ⁠.

Xem lời giải

Giá trị đại diện $1$ ⁠; $3$ ⁠; $5$ ⁠; $n = 10$ ⁠; $\bar{x} = \dfrac{2\cdot 1 + 6\cdot 3 + 2\cdot 5}{10} = 3$ (đẹp nên dùng định nghĩa):

Tổng $2\cdot(1 - 3)^2 + 6\cdot 0^2 + 2\cdot(5 - 3)^2 = 8 + 0 + 8 = 16$ ⁠, nên

s^2 = \dfrac{16}{10} = 1{,}6.

$s = \sqrt{1{,}6} \approx 1{,}26$ ⁠.

Xem lời giải

a) Đúng. $\dfrac{4 + 6}{2} = 5$ ⁠.

b) Đúng. Đã tính ở Dạng 1.

c) Sai. Tần số tích lũy đến hết nhóm $[4; 6)$ là $35 \ge 25$ ⁠, nên trung vị thuộc nhóm $[4; 6)$ ⁠.

d) Sai. Tổng $5\cdot 1^2 + 12\cdot 3^2 + 18\cdot 5^2 + 10\cdot 7^2 + 5\cdot 9^2 = 1458$ ⁠, chia cho $50$ được $29{,}16$ ⁠, nên

\begin{aligned} s^2 &= 29{,}16 - 4{,}92^2 = 4{,}9536, \\ s &\approx 2{,}23 < 2{,}5. \end{aligned}

Dạng 4: So sánh hai mẫu số liệu (phần II, phần III)

Phương pháp

Tính cùng một số đặc trưng cho cả hai mẫu (trung bình để so mức độ; độ lệch chuẩn hoặc khoảng tứ phân vị để so độ phân tán).
Kết luận theo đúng tiêu chí đề hỏi: "đồng đều hơn", "ổn định hơn", "ít rủi ro hơn" ứng với độ phân tán nhỏ hơn.
Hai mẫu có cùng các nhóm: nhìn tần số dồn vào nhóm giữa nhiều hay ít để dự đoán trước, rồi tính để khẳng định.

Xem lời giải

Lớp 12A có độ lệch chuẩn nhỏ hơn, nên điểm của học sinh lớp 12A tập trung quanh số trung bình hơn: lớp 12A đồng đều hơn. Số trung bình bằng nhau không nói gì về độ phân tán.

Ví dụ

Thông hiểu. Khối lượng (gam) của 20 quả cam chọn ngẫu nhiên ở mỗi vườn A và B được ghi lại như sau (số liệu minh họa):

Khối lượng (g)	Vườn A	Vườn B
$[150; 160)$	4	7
$[160; 170)$	10	5
$[170; 180)$	6	8

Tính độ lệch chuẩn khối lượng cam của từng vườn (làm tròn đến hàng phần mười). Cam vườn nào đồng đều hơn?

Xem lời giải

Giá trị đại diện: $155$ ⁠; $165$ ⁠; $175$ ⁠.

Vườn A: $\bar{x}_A = \dfrac{4\cdot 155 + 10\cdot 165 + 6\cdot 175}{20} = 166$ ⁠;

Độ lệch so với $166$ là $-11$ ⁠; $-1$ ⁠; $9$ ⁠, và $4\cdot(-11)^2 + 10\cdot(-1)^2 + 6\cdot 9^2 = 484 + 10 + 486 = 980$ ⁠:

s_A^2 = \dfrac{980}{20} = 49 \Rightarrow s_A = 7.

Vườn B: $\bar{x}_B = \dfrac{7\cdot 155 + 5\cdot 165 + 8\cdot 175}{20} = 165{,}5$ ⁠;

Độ lệch so với $165{,}5$ là $-10{,}5$ ⁠; $-0{,}5$ ⁠; $9{,}5$ ⁠, và $7\cdot(-10{,}5)^2 + 5\cdot(-0{,}5)^2 + 8\cdot 9{,}5^2 = 771{,}75 + 1{,}25 + 722 = 1495$ ⁠:

\begin{aligned} s_B^2 &= \dfrac{1495}{20} = 74{,}75 \\ &\Rightarrow s_B \approx 8{,}6. \end{aligned}

$s_A < s_B$ nên cam vườn A đồng đều hơn.

Ví dụ

Vận dụng (đúng/sai). Thời gian (phút) để hoàn thành một sản phẩm của 40 công nhân ở mỗi tổ được ghi lại như sau (số liệu minh họa):

Thời gian (phút)	Tổ A	Tổ B
$[20; 25)$	3	7
$[25; 30)$	10	6
$[30; 35)$	14	14
$[35; 40)$	10	6
$[40; 45)$	3	7

a) Hai tổ có cùng số trung bình là $32{,}5$ phút.

b) Mốt của tổ A lớn hơn mốt của tổ B.

c) Khoảng tứ phân vị của tổ B bằng $10$ phút.

d) Độ lệch chuẩn của tổ A lớn hơn $6$ phút.

Xem lời giải

Giá trị đại diện: $22{,}5$ ⁠; $27{,}5$ ⁠; $32{,}5$ ⁠; $37{,}5$ ⁠; $42{,}5$ ⁠. Cả hai bảng đối xứng quanh nhóm giữa.

a) Đúng. Tổ A: $3\cdot 22{,}5 + 10\cdot 27{,}5 + 14\cdot 32{,}5 + 10\cdot 37{,}5 + 3\cdot 42{,}5 = 1300$ ⁠, nên $\bar{x}_A = \dfrac{1300}{40} = 32{,}5$ ⁠; tổ B tính tương tự cũng có tổng $1300$ và $\bar{x}_B = 32{,}5$ ⁠.

b) Sai. Cả hai tổ có nhóm mốt $[30; 35)$ và hai nhóm liền kề bằng nhau, nên $M_o = 30 + \dfrac{1}{2}\cdot 5 = 32{,}5$ ở cả hai tổ.

c) Đúng. Tổ B có tần số tích lũy $7$ ⁠; $13$ ⁠; $27$ ⁠; $33$ ⁠; $40$ ⁠. $Q_1$ ⁠: $\dfrac{n}{4} = 10$ thuộc $[25; 30)$ ⁠, $Q_1 = 25 + \dfrac{10 - 7}{6}\cdot 5 = 27{,}5$ ⁠; $Q_3$ ⁠: $30$ thuộc $[35; 40)$ ⁠, $Q_3 = 35 + \dfrac{30 - 27}{6}\cdot 5 = 37{,}5$ ⁠. Vậy $\Delta_Q = 10$ ⁠.

d) Sai. Tổ A: $s_A^2 = \dfrac{2\cdot 3\cdot 10^2 + 2\cdot 10\cdot 5^2}{40} = \dfrac{1100}{40} = 27{,}5$ ⁠, nên $s_A \approx 5{,}24 < 6$ ⁠. (Tổ B: $s_B^2 = 42{,}5$ ⁠, $s_B \approx 6{,}52$ — tổ A làm việc đồng đều hơn.)

Lỗi thường gặp

Chú ý

Dùng đầu mút nhóm thay cho giá trị đại diện (trung điểm) khi tính số trung bình, phương sai.
Trong công thức trung vị, tứ phân vị: lấy nhầm tần số tích lũy của chính nhóm đó thay cho nhóm đứng trước, hoặc lấy nhầm tần số của nhóm trước thay cho $m_p$ ⁠.
Xác định nhóm chứa $Q_1$ ⁠, $Q_3$ bằng tần số thay vì tần số tích lũy; nhầm nhóm có tần số lớn nhất (chứa mốt) với nhóm chứa trung vị.
Mốt: lấy nhầm $m_{j-1}$ ⁠, $m_{j+1}$ (phải là tần số của hai nhóm liền kề nhóm có tần số lớn nhất).
Quên lấy căn bậc hai khi đề hỏi độ lệch chuẩn, hoặc làm tròn $\bar{x}$ ⁠, $Q_1$ ⁠, $Q_3$ quá sớm rồi mới tính tiếp.
Chia cho $n - 1$ khi tính phương sai (do chọn nhầm chức năng trên máy tính).
Kết luận "mẫu có trung bình lớn hơn thì phân tán hơn": độ phân tán chỉ đo bằng khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn.

Mẹo làm bài

Luôn viết thêm hàng tần số tích lũy dưới bảng trước khi tính trung vị, tứ phân vị — nhìn vào là chọn đúng nhóm.
Máy tính cầm tay: vào chế độ thống kê một biến, bật cột tần số, nhập các giá trị đại diện và tần số; máy cho ngay $n$ ⁠, $\bar{x}$ ⁠, $\sum x^2$ và độ lệch chuẩn. Chú ý chọn độ lệch chuẩn chia cho $n$ (kí hiệu thường là $\sigma_x$ ⁠), không chọn loại chia cho $n - 1$ ⁠.
Bảng đối xứng quanh nhóm giữa (như hai tổ công nhân ở Dạng 4): số trung bình, trung vị, mốt đều bằng giá trị đại diện của nhóm giữa — đỡ phải tính.
Câu so sánh hai mẫu: nếu hai mẫu có cùng các nhóm, chỉ cần so sánh mức độ "dồn" tần số vào nhóm giữa để đoán trước kết quả, rồi mới tính để chắc chắn.

Tự luyện

Tám câu trộn đủ ba dạng câu hỏi của đề. Làm xong cả bài rồi mới mở đáp án.

(Phần I) Tìm giá trị đại diện của nhóm $[12; 16)$ ⁠.

Xem đáp án

$\dfrac{12 + 16}{2} = 14$ ⁠.

(Phần I) Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu quãng đường đi bộ ở trên.

Xem đáp án

$R = 10 - 0 = 10$ (km).

(Phần I) Mốt của mẫu ghép nhóm có các nhóm $[10; 20)$ ⁠, $[20; 30)$ ⁠, $[30; 40)$ ⁠, $[40; 50)$ với tần số lần lượt $3$ ⁠; $7$ ⁠; $10$ ⁠; $5$ là

A. $35$ · B. $33{,}75$ · C. $30$ · D. $36{,}25$

Xem đáp án

B. Nhóm $[30; 40)$ có tần số lớn nhất: $M_o = 30 + \dfrac{10 - 7}{(10 - 7) + (10 - 5)}\cdot 10 = 30 + \dfrac{30}{8} = 33{,}75$ ⁠. Phương án A là giá trị đại diện của nhóm, không phải mốt.

(Phần I) Một mẫu số liệu ghép nhóm có $\bar{x} = 5$ và $\dfrac{m_1x_1^2 + \dots + m_kx_k^2}{n} = 30$ ⁠. Tính độ lệch chuẩn (làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án

$s^2 = 30 - 5^2 = 5$ ⁠, nên $s = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ ⁠.

(Phần I) Vì sao khi mẫu có vài giá trị bất thường (quá lớn hoặc quá nhỏ), người ta thường dùng khoảng tứ phân vị thay cho khoảng biến thiên?

Xem đáp án

Khoảng biến thiên chỉ phụ thuộc hai đầu mút nên bị giá trị bất thường làm sai lệch mạnh; khoảng tứ phân vị đo độ phân tán của 50% số liệu ở giữa nên ít bị ảnh hưởng.

(Phần II) Tuổi của 40 người tham gia một lớp học nấu ăn được cho trong bảng (số liệu minh họa): nhóm $[20; 25)$ có $4$ người, $[25; 30)$ có $12$ người, $[30; 35)$ có $10$ người, $[35; 40)$ có $8$ người, $[40; 45)$ có $6$ người. Xét tính đúng sai:

a) Nhóm chứa mốt là $[25; 30)$ ⁠.

b) Số trung bình của mẫu số liệu bằng $32{,}5$ ⁠.

c) Trung vị lớn hơn số trung bình.

d) Khoảng tứ phân vị bằng $10$ ⁠.

Xem đáp án

Giá trị đại diện $22{,}5$ ⁠; $27{,}5$ ⁠; $32{,}5$ ⁠; $37{,}5$ ⁠; $42{,}5$ ⁠; tần số tích lũy $4$ ⁠; $16$ ⁠; $26$ ⁠; $34$ ⁠; $40$ ⁠.

a) Đúng. Nhóm $[25; 30)$ có tần số lớn nhất (⁠ $12$ ⁠).

b) Đúng. $\bar{x} = \dfrac{90 + 330 + 325 + 300 + 255}{40} = \dfrac{1300}{40} = 32{,}5$ ⁠.

c) Sai. $\dfrac{n}{2} = 20$ thuộc nhóm $[30; 35)$ ⁠: $M_e = 30 + \dfrac{20 - 16}{10}\cdot 5 = 32 < 32{,}5$ ⁠.

d) Đúng. $Q_1 = 25 + \dfrac{10 - 4}{12}\cdot 5 = 27{,}5$ ⁠; $Q_3 = 35 + \dfrac{30 - 26}{8}\cdot 5 = 37{,}5$ ⁠; $\Delta_Q = 10$ ⁠.

(Phần III) Với bảng thời gian luyện tập của 60 vận động viên ở Dạng 2, tính tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Xem đáp án

$\dfrac{n}{4} = 15$ ⁠; tần số tích lũy $8$ ⁠; $23$ ⁠; ... nên $Q_1$ thuộc nhóm $[50; 60)$ ⁠: $Q_1 = 50 + \dfrac{15 - 8}{15}\cdot 10 = 50 + \dfrac{14}{3} \approx 54{,}67$ ⁠. Đáp số: 54,7.

(Phần III) Với bảng thời gian đọc sách của 40 học sinh ở Dạng 1, tính độ lệch chuẩn (làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án

$\bar{x} = 20{,}5$ ⁠; $6\cdot 25 + 14\cdot 225 + 12\cdot 625 + 8\cdot 1225 = 20600$ ⁠, chia cho $40$ được $515$ ⁠; $s^2 = 515 - 20{,}5^2 = 94{,}75$ ⁠; $s \approx 9{,}734$ ⁠. Đáp số: 9,73.

Kiểm tra lại kiến thức vừa ôn

Làm 10 câu luyện tập về các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm và xem lời giải ngay sau mỗi câu.

Luyện tập ngay

Đề có câu hỏi về chủ đề này

Đề ôn luyện số 1

90 phút · Trung bình

Làm thử miễn phí

Đề ôn luyện số 2

90 phút · Cơ bản

Làm thử miễn phí

Đề ôn luyện số 3

90 phút · Nâng cao

Làm thử miễn phí