Nguyên hàm và tích phân

Nguyên hàm và tích phân là một trong những chủ đề lớn của đề Toán, cùng với ứng dụng đạo hàm. Phần I thường hỏi bảng nguyên hàm, tính chất tích phân, diện tích hoặc thể tích; phần II hay có câu đúng/sai về chuyển động hoặc tốc độ thay đổi; phần III thường có bài diện tích, thể tích hay tổng lượng trong tình huống thực tế. Nắm chắc bảng nguyên hàm và bốn công thức ứng dụng là đủ để làm phần lớn các câu; phần còn lại là kĩ năng biến đổi trước khi lấy nguyên hàm và dựng mô hình cho bài thực tế.

Kiến thức trọng tâm

Nguyên hàm

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$⁠. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$⁠. Khi đó mọi nguyên hàm của $f$ trên $K$ có dạng $F(x) + C$ (⁠$C$ là hằng số) và ta viết

Hai nguyên hàm bất kì của cùng một hàm số trên $K$ chỉ khác nhau một hằng số. Vì vậy chỉ cần một điều kiện (như $F(0) = 1$⁠) là xác định được đúng một nguyên hàm.

Tính chất:

• $\displaystyle\int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$ với $k \ne 0$⁠;
• $\displaystyle\int \left[f(x) \pm g(x)\right]dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$⁠;
• $\displaystyle\int f'(x)\,dx = f(x) + C$⁠.

Chú ý: không có quy tắc "nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm". Gặp tích hay thương, hãy khai triển hoặc tách thành tổng trước.

Bảng nguyên hàm cơ bản

Công thức $x^{\alpha}$ dùng được cho mọi số mũ thực khác $-1$⁠: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ có nguyên hàm $\dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C$⁠; $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$ có nguyên hàm $-\dfrac{1}{x} + C$⁠.

Tích phân

Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên đoạn $[a; b]$ thì

Tính chất cần dùng:

• $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ và $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$⁠;
• $\displaystyle\int_a^b \left[k f(x) \pm g(x)\right]dx = k\int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx$⁠;
• $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$ (cộng theo khoảng).

Tích phân không phụ thuộc tên biến: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt$⁠. Nếu $f(x) \ge 0$ trên $[a; b]$ thì tích phân bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$⁠, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$⁠, $x = b$⁠.

Ứng dụng hình học

Khi đề chỉ cho hai đồ thị, cận $a$⁠, $b$ là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm $f(x) = g(x)$⁠.

Công thức thể tích khối nón là một ví dụ của khối tròn xoay: quay tam giác vuông có cạnh huyền nằm trên đường thẳng $y = \dfrac{r}{h}x$ (⁠$0 \le x \le h$⁠) quanh trục $Ox$⁠, ta được

Đọc câu hỏi để chọn công thức

Nhiều câu thực tế không ghi chữ "tích phân" mà chỉ cho tốc độ (vận tốc, lưu lượng, công suất, tốc độ tăng trưởng) và hỏi tổng lượng. Thấy cặp "tốc độ → tổng lượng" là nghĩ ngay tới tích phân; thấy cặp ngược lại "tổng lượng → tốc độ" là nghĩ tới đạo hàm.

Dạng bài thường gặp trong đề thi

Mỗi dạng có phương pháp và ví dụ theo ba mức nhận biết, thông hiểu, vận dụng. Tự làm trước rồi mới mở lời giải.

Dạng 1: Tìm nguyên hàm, nguyên hàm thỏa mãn điều kiện (phần I)

Phương pháp

1. Biến đổi hàm số thành tổng, hiệu các hàm có trong bảng: khai triển hằng đẳng thức, chia từng hạng tử của tử cho mẫu, viết căn thành lũy thừa, dùng $1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$⁠.
2. Lấy nguyên hàm từng hạng tử theo bảng, cộng một hằng số $C$⁠.
3. Nếu đề cho điều kiện $F(x_0) = y_0$⁠: thay vào để tìm $C$⁠, rồi mới tính giá trị đề hỏi.
4. Kiểm tra nhanh: lấy đạo hàm kết quả phải ra đúng $f(x)$⁠.

Xem lời giải

$$\begin{aligned} & \int (6x^2 - 2\cos x)\,dx \\ &= 6\cdot\dfrac{x^3}{3} - 2\sin x + C \\ &= 2x^3 - 2\sin x + C. \end{aligned}$$

Kiểm tra: $(2x^3 - 2\sin x)' = 6x^2 - 2\cos x$⁠. Phương án nhiễu hay gặp là $2x^3 + 2\sin x + C$ (nhầm dấu) hoặc $12x + 2\sin x + C$ (lấy đạo hàm thay vì nguyên hàm).

Xem lời giải

$F(x) = \displaystyle\int (2e^x + 3x^2)\,dx = 2e^x + x^3 + C$⁠.

$F(0) = 2 + C = 1 \Rightarrow C = -1$ (nhớ $e^0 = 1$⁠, không phải $0$⁠), nên $F(x) = 2e^x + x^3 - 1$⁠.

Vậy $F(1) = 2e + 1 - 1 = 2e$⁠.

Xem lời giải

Theo bảng nguyên hàm với $a = 2$⁠:

$$\begin{aligned} N(t) &= \int 100\cdot 2^t\,dt \\ &= \dfrac{100\cdot 2^t}{\ln 2} + C. \end{aligned}$$

$N(0) = \dfrac{100}{\ln 2} + C = 500 \Rightarrow C = 500 - \dfrac{100}{\ln 2}$⁠.

$$\begin{aligned} N(3) &= \dfrac{800}{\ln 2} + 500 - \dfrac{100}{\ln 2} \\ &= 500 + \dfrac{700}{\ln 2} \approx 1509{,}89. \end{aligned}$$

Đáp số: $1510$⁠. Cách nhìn khác: số vi khuẩn tăng thêm là $\displaystyle\int_0^3 100\cdot 2^t\,dt = \dfrac{700}{\ln 2}$⁠, cộng với $500$ ban đầu.

Dạng 2: Tính tích phân, dùng tính chất tích phân (phần I)

Phương pháp

1. Tìm một nguyên hàm $F$ (không cần $C$⁠), tính $F(b) - F(a)$ — giá trị tại cận trên trừ giá trị tại cận dưới.
2. Đề cho sẵn giá trị một tích phân của $f$ chưa biết: tách bằng tính chất tuyến tính và cộng theo khoảng, phần biết công thức thì tính trực tiếp.
3. Hàm có trị tuyệt đối hoặc cho từng khúc: tìm điểm đổi dấu (hoặc điểm chia khúc) trong $(a; b)$⁠, tách tích phân tại đó, bỏ trị tuyệt đối trên từng đoạn.

Xem lời giải

$$\begin{aligned} \int_1^2 (3x^2 - 1)\,dx &= (x^3 - x)\Big|_1^2 \\ &= 6 - 0 = 6. \end{aligned}$$

Xem lời giải

$I = 3\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx - \int_0^3 2x\,dx = 3\cdot 5 - x^2\Big|_0^3 = 15 - 9 = 6.$

Lỗi hay gặp: quên nhân $3$ hoặc tính $\displaystyle\int_0^3 2x\,dx = 6$ (nhầm thành $2\cdot 3$⁠).

Xem lời giải

$x^2 - 2x = x(x - 2)$ đổi dấu tại $x = 2 \in (0; 3)$⁠: âm trên $(0; 2)$⁠, dương trên $(2; 3)$⁠. Tách tích phân:

$$\begin{aligned} I &= \int_0^2 (2x - x^2)\,dx \\ &\quad + \int_2^3 (x^2 - 2x)\,dx \\ &= \left(x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_0^2 \\ &\quad + \left(\dfrac{x^3}{3} - x^2\right)\Big|_2^3 \\ &= \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}. \end{aligned}$$

Nếu bỏ qua trị tuyệt đối và tính thẳng $\displaystyle\int_0^3 (x^2 - 2x)\,dx = 0$ — một phương án nhiễu rất hay gặp.

Dạng 3: Diện tích hình phẳng (phần I, phần III)

Phương pháp

1. Tìm cận: giải phương trình hoành độ giao điểm $f(x) = g(x)$ (hoặc $f(x) = 0$ nếu hình giới hạn bởi trục hoành). Đề cho sẵn $x = a$⁠, $x = b$ thì vẫn phải tìm các giao điểm nằm giữa $a$ và $b$⁠.
2. Trên từng đoạn giữa các giao điểm, xác định đường nào nằm trên (thử một giá trị $x$ hoặc nhìn hình).
3. Trên mỗi đoạn, diện tích bằng tích phân của hiệu (hàm của đường nằm trên trừ hàm của đường nằm dưới); cộng các phần lại.
4. Bài thực tế: đọc đơn vị trên trục để biết diện tích tính bằng $\text{m}^2$ hay $\text{cm}^2$⁠, sau đó mới nhân đơn giá.

Xem lời giải

Trên $[1; 2]$ có $3x^2 > 0$⁠, nên

$$\begin{aligned} S &= \int_1^2 3x^2\,dx = x^3\Big|_1^2 \\ &= 8 - 1 = 7. \end{aligned}$$

Xem lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2 - 2x = x \Leftrightarrow x^2 - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3$⁠.

Trên $[0; 3]$ đường thẳng nằm trên parabol (⁠$x - (x^2 - 2x) = 3x - x^2 \ge 0$⁠), nên

$$\begin{aligned} S &= \int_0^3 (3x - x^2)\,dx \\ &= \left(\dfrac{3x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_0^3 \\ &= \dfrac{27}{2} - 9 = \dfrac{9}{2}. \end{aligned}$$

Xem lời giải

Hoành độ giao điểm: $1 - \dfrac{x^2}{4} = \dfrac{x^2}{4} - 1 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$⁠.

Trên $[-2; 2]$⁠, parabol $y = 1 - \dfrac{x^2}{4}$ nằm trên, nên

$$\begin{aligned} S &= \int_{-2}^{2}\left(2 - \dfrac{x^2}{2}\right)dx \\ &= \left(2x - \dfrac{x^3}{6}\right)\Big|_{-2}^{2} \\ &= \left(4 - \dfrac{4}{3}\right) - \left(-4 + \dfrac{4}{3}\right) \\ &= \dfrac{16}{3}\ (\text{m}^2). \end{aligned}$$

Chi phí: $\dfrac{16}{3}\cdot 120 = 640$ (nghìn đồng). Đáp số: $640$⁠.

Nhận xét: hình đối xứng qua cả hai trục, nên có thể tính $4\displaystyle\int_0^2\left(1 - \dfrac{x^2}{4}\right)dx = 4\cdot\dfrac{4}{3}$ để đỡ nhầm dấu.

Dạng 4: Thể tích vật thể và khối tròn xoay (phần I, phần III)

Phương pháp

1. Vật thể biết thiết diện: viết diện tích thiết diện $S(x)$ tại hoành độ $x$ (hình vuông cạnh $a$ thì $S = a^2$⁠, tam giác đều cạnh $a$ thì $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$⁠...), rồi $V = \displaystyle\int_a^b S(x)\,dx$⁠.
2. Khối tròn xoay quanh $Ox$⁠: bán kính thiết diện tại $x$ chính là $\lvert f(x)\rvert$⁠, thiết diện là hình tròn nên $S(x) = \pi f^2(x)$ và $V = \pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx$⁠.
3. Vật thật (cốc, bình, chậu): đặt trục $Ox$ dọc trục đối xứng của vật, xác định hàm bán kính $r(x)$ và cận theo chiều cao.
4. Đáp số có $\pi$⁠: phần I giữ dạng $k\pi$⁠; phần III nhân ra số thập phân rồi mới làm tròn.

Xem lời giải

$$\begin{aligned} V &= \pi\int_0^3 (2x)^2\,dx = \pi\int_0^3 4x^2\,dx \\ &= \pi\cdot\dfrac{4x^3}{3}\Big|_0^3 = 36\pi. \end{aligned}$$

Kiểm tra bằng công thức khối nón: quay ra hình nón bán kính đáy $6$⁠, chiều cao $3$⁠, có $V = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 6^2\cdot 3 = 36\pi$⁠.

Xem lời giải

$2x - x^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$⁠. Do đó

$$\begin{aligned} V &= \pi\int_0^2 (2x - x^2)^2\,dx \\ &= \pi\int_0^2 (4x^2 - 4x^3 + x^4)\,dx \\ &= \pi\left(\dfrac{32}{3} - 16 + \dfrac{32}{5}\right) = \dfrac{16\pi}{15}. \end{aligned}$$

Nhớ bình phương hàm số và nhân $\pi$⁠; đây là hai chỗ đề thi hay cài phương án nhiễu.

Xem lời giải

Bán kính lòng bát tại độ cao $x$ là $r(x) = 0{,}5x + 3$ (từ $3\,\text{cm}$ ở đáy lên $8\,\text{cm}$ ở miệng). Khai triển $(0{,}5x + 3)^2 = 0{,}25x^2 + 3x + 9$⁠:

$$\begin{aligned} V &= \pi\int_0^{10} (0{,}25x^2 + 3x + 9)\,dx \\ &= \pi\left(\dfrac{x^3}{12} + \dfrac{3x^2}{2} + 9x\right)\Big|_0^{10} \\ &= \pi\left(\dfrac{250}{3} + 150 + 90\right) = \dfrac{970\pi}{3}. \end{aligned}$$

$V \approx 1015{,}78\,\text{cm}^3$⁠. Đáp số: $1016$ (khoảng một lít).

Lòng bát là một khối nón cụt; có thể kiểm tra bằng công thức $V = \dfrac{\pi h}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right) = \dfrac{10\pi}{3}(64 + 24 + 9) = \dfrac{970\pi}{3}$⁠.

Dạng 5: Chuyển động và tổng lượng trong thực tế (phần II, phần III)

Phương pháp

1. Xác định đại lượng nào là tốc độ thay đổi của đại lượng nào: $v = s'$⁠, $a = v'$⁠, công suất là tốc độ tiêu thụ điện năng, lưu lượng là tốc độ thay đổi thể tích nước...
2. Muốn tìm đại lượng gốc: lấy nguyên hàm và tìm $C$ từ điều kiện ban đầu; muốn tìm lượng thay đổi trong một khoảng thời gian: lấy tích phân trên khoảng đó.
3. Quãng đường khi vận tốc đổi dấu: $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \lvert v(t)\rvert\,dt$ (khác độ dịch chuyển $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$⁠).
4. Đơn vị của tích phân = đơn vị của hàm nhân đơn vị của biến (m/s nhân s ra m; kW nhân h ra kWh).

Xem lời giải

Trên $[1; 3]$ có $v(t) > 0$⁠, nên quãng đường là

$$\begin{aligned} s &= \int_1^3 (2t + 1)\,dt = (t^2 + t)\Big|_1^3 \\ &= 12 - 2 = 10\ (\text{m}). \end{aligned}$$

Xem lời giải

Xe dừng khi $v(t) = 0 \Leftrightarrow t = 5$⁠. Trên $[0; 5]$ có $v(t) \ge 0$⁠, nên

$$\begin{aligned} s &= \int_0^5 (15 - 3t)\,dt \\ &= \left(15t - \dfrac{3t^2}{2}\right)\Big|_0^5 \\ &= 75 - 37{,}5 = 37{,}5\ (\text{m}). \end{aligned}$$

Đáp số phần III: $37{,}5$ (đủ 4 kí tự). Sai lầm hay gặp là lấy tích phân đến một mốc thời gian sau lúc xe dừng (ví dụ đến $t = 10$⁠): khi đó $v(t) < 0$⁠, công thức không còn mô tả chuyển động thật.

Xem lời giải

a) Đúng. $v'(t) = 10 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = 5$⁠; $v'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $t = 5$ nên $v_{\max} = v(5) = 25$⁠.

b) Sai. $\displaystyle\int_0^3 (10t - t^2)\,dt = \left(5t^2 - \dfrac{t^3}{3}\right)\Big|_0^3 = 45 - 9 = 36\,(\text{m})$⁠.

c) Sai. Trên $[0; 10]$ có $v(t) = t(10 - t) \ge 0$⁠, độ cao sau 10 phút là $\displaystyle\int_0^{10} (10t - t^2)\,dt = 500 - \dfrac{1000}{3} = \dfrac{500}{3} \approx 166{,}7\,(\text{m}) < 170\,\text{m}$⁠.

d) Đúng. $a(t) = v'(t) = 10 - 2t$⁠, nên $a(2) = 6$ mét/phút².

Xem lời giải

Lượng dữ liệu tải về là tích phân của tốc độ tải theo thời gian (MB/giây nhân giây ra MB). Với $6\sqrt{t} = 6t^{\frac{1}{2}}$ có nguyên hàm $6\cdot\dfrac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = 4t\sqrt{t}$⁠:

$$\begin{aligned} D &= \int_0^5 \left(2 + 6\sqrt{t}\right)dt \\ &= \left(2t + 4t\sqrt{t}\right)\Big|_0^5 \\ &= 10 + 20\sqrt{5} \\ &\approx 54{,}72\ (\text{MB}). \end{aligned}$$

Làm tròn đến hàng phần mười: $54{,}7$⁠. Không ghi $54{,}72$ (5 kí tự, sai yêu cầu làm tròn) và không ghi đơn vị.

Lỗi thường gặp

Mẹo làm bài

Tự luyện

Tám câu trộn đủ ba dạng câu hỏi của đề. Làm xong cả bài rồi mới mở đáp án.

1. (Phần I) Trên khoảng $(0; +\infty)$⁠, họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4x^3 - \dfrac{2}{x}$ là

   A. $x^4 + \dfrac{2}{x^2} + C$ · B. $x^4 - 2\ln x + C$ · C. $12x^2 + \dfrac{2}{x^2} + C$ · D. $x^4 - 2x + C$

Xem đáp án

B. $\displaystyle\int \left(4x^3 - \dfrac{2}{x}\right)dx = x^4 - 2\ln x + C$ (trên $(0; +\infty)$ thì $\lvert x\rvert = x$⁠). Phương án C là đạo hàm, không phải nguyên hàm; phương án A coi $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$ rồi dùng sai công thức lũy thừa.

2. (Phần I) Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = \tan^2 x$ trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$⁠.

Xem đáp án

$\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1$⁠, nên $\displaystyle\int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C$⁠.

3. (Phần I) Tính $\displaystyle\int_0^{\pi} (3\sin x - 2)\,dx$⁠.

Xem đáp án

$(-3\cos x - 2x)\Big|_0^{\pi} = (3 - 2\pi) - (-3) = 6 - 2\pi$ (nhớ $\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ và $\cos\pi = -1$⁠).

4. (Phần I) Tính $\displaystyle\int_{-1}^{2} \lvert x\rvert\,dx$⁠.

Xem đáp án

Tách tại $x = 0$⁠: $\displaystyle\int_{-1}^{0} (-x)\,dx + \int_0^2 x\,dx = \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{5}{2}$⁠.

5. (Phần III) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x^3$ và $y = x$⁠.

Xem đáp án

$x^3 = x \Leftrightarrow x \in \{-1; 0; 1\}$⁠. Trên $[-1; 0]$ có $x^3 \ge x$⁠, trên $[0; 1]$ có $x \ge x^3$⁠:

$S = \displaystyle\int_{-1}^{0} (x^3 - x)\,dx + \int_0^1 (x - x^3)\,dx = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$⁠. Đáp số: 0,5.

Nếu tính một tích phân $\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^3 - x)\,dx$ sẽ ra $0$ — hai phần triệt tiêu nhau.

6. (Phần I) Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x = 0$ và $x = 4$⁠; thiết diện vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ là hình vuông cạnh $\sqrt{x}$⁠. Tính thể tích vật thể.

Xem đáp án

$S(x) = \left(\sqrt{x}\right)^2 = x$⁠, nên $V = \displaystyle\int_0^4 x\,dx = 8$⁠.

7. (Phần II) Một vật chuyển động thẳng với vận tốc $v(t) = t^2 - 8t + 12$ (m/s), $0 \le t \le 8$⁠, $t$ tính bằng giây. Xét tính đúng sai:

   a) Vật dừng lại tức thời tại hai thời điểm $t = 2$ và $t = 6$⁠.

   b) Độ dịch chuyển của vật sau 8 giây là $32\,\text{m}$⁠.

   c) Quãng đường vật đi được trong 8 giây là $32\,\text{m}$⁠.

   d) Gia tốc của vật tại thời điểm $t = 6$ bằng $0$⁠.

Xem đáp án

a) Đúng. $v(t) = (t - 2)(t - 6) = 0 \Leftrightarrow t = 2$ hoặc $t = 6$⁠.

b) Sai. Độ dịch chuyển $\displaystyle\int_0^8 v(t)\,dt = \left(\dfrac{t^3}{3} - 4t^2 + 12t\right)\Big|_0^8 = \dfrac{512}{3} - 256 + 96 = \dfrac{32}{3}\,\text{m}$⁠.

c) Đúng. $v$ đổi dấu tại $t = 2$ và $t = 6$⁠; ba tích phân trên $[0; 2]$⁠, $[2; 6]$⁠, $[6; 8]$ lần lượt bằng $\dfrac{32}{3}$⁠, $-\dfrac{32}{3}$⁠, $\dfrac{32}{3}$⁠, nên quãng đường $\dfrac{32}{3} + \dfrac{32}{3} + \dfrac{32}{3} = 32\,\text{m}$⁠.

d) Sai. $a(t) = v'(t) = 2t - 8$⁠, nên $a(6) = 4\,\text{m/s}^2$ (vận tốc bằng $0$ không có nghĩa là gia tốc bằng $0$⁠).

8. (Phần III) Lòng một chiếc bình gốm là khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = \sqrt{x} + 1$⁠, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0$⁠, $x = 9$ quanh trục $Ox$ (đơn vị trên mỗi trục là xăng-ti-mét). Tính dung tích của bình theo đơn vị xăng-ti-mét khối (làm tròn đến hàng đơn vị).

Xem đáp án

$(\sqrt{x} + 1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1$⁠, nên

$V = \pi\displaystyle\int_0^9 \left(x + 2x^{\frac{1}{2}} + 1\right)dx = \pi\left(\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{4}{3}x\sqrt{x} + x\right)\Big|_0^9 = \pi(40{,}5 + 36 + 9) = \dfrac{171\pi}{2} \approx 268{,}6$⁠.

Đáp số: 269.