Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

a) $f'(x) > 0$ trên $(-2; 1)$ nên hàm số đồng biến trên $(-2; 1)$⁠. Không trả lời $(-3; 2)$ — đó là khoảng giá trị của $y$⁠.

b) $f'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x = 1$⁠, nên giá trị cực đại là $y_{\text{CĐ}} = f(1) = 2$ (điểm cực đại là $x = 1$⁠).

c) Kẻ đường thẳng $y = 1$⁠: trên $(-\infty; -2)$ hàm số giảm từ $+\infty$ xuống $-3$ nên đi qua giá trị $1$ đúng một lần; trên $(-2; 1)$ tăng từ $-3$ lên $2$⁠, đi qua $1$ một lần; trên $(1; +\infty)$ giảm từ $2$ xuống $-\infty$⁠, đi qua $1$ một lần. Vậy phương trình có 3 nghiệm.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (nghiệm kép), $x = -3$ hoặc $x = 2$⁠. Xét dấu (thừa số $(x - 1)^2 \ge 0$ không làm đổi dấu):

$f'$ đổi dấu tại $x = -3$ (từ $-$ sang $+$⁠: cực tiểu) và tại $x = 2$ (từ $+$ sang $-$⁠: cực đại); không đổi dấu tại $x = 1$⁠. Vậy có 2 điểm cực trị, điểm cực đại là $x = 2$⁠.

a) Đồ thị $f'$ nằm trên trục hoành khi $x < -1$ hoặc $x > 3$⁠, nằm dưới khi $-1 < x < 3$⁠. Vậy $f'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x = -1$ và từ $-$ sang $+$ tại $x = 3$⁠: hàm số có 2 điểm cực trị, điểm cực đại là $x = -1$⁠, điểm cực tiểu là $x = 3$⁠.

b) $g'(x) = f'(x) + 3$⁠. Do đó $g'(x) < 0 \Leftrightarrow f'(x) < -3$⁠, tức là phần đồ thị $f'$ nằm dưới đường thẳng ${y = -3}$⁠.

Đường thẳng $y = -3$ cắt parabol tại $x = 0$ và $x = 2$⁠; giữa hai điểm đó parabol nằm dưới đường thẳng. Vậy $g$ nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$⁠.

Cách kiểm tra bằng đại số (ở đây đồ thị cho đủ dữ kiện để tìm ra $f'(x) = x^2 - 2x - 3$⁠): $g'(x) = x^2 - 2x = x(x - 2) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$⁠.

Trên đoạn $[-1; 3]$⁠, các giá trị đáng chú ý là $f(-1) = -1$⁠, $f(0) = 3$⁠, $f(2) = -2$⁠, $f(3) = 4$⁠.

• Giá trị lớn nhất là $4$⁠, đạt tại $x = 3$ (đầu mút phải).
• Giá trị nhỏ nhất là $-2$⁠, đạt tại $x = 2$⁠.
• Giá trị cực đại là $f(0) = 3$⁠.

Giá trị cực đại $3$ không phải giá trị lớn nhất trên đoạn: đây là phương án nhiễu hay gặp.

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$⁠; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$⁠, cả hai đều thuộc $(-2; 4)$⁠.

$f(-2) = 3$⁠, $f(-1) = 10$⁠, $f(3) = -22$⁠, $f(4) = -15$⁠.

Vậy $\max\limits_{[-2; 4]} f(x) = f(-1) = 10$ và $\min\limits_{[-2; 4]} f(x) = f(3) = -22$⁠.

Tập xác định $(0; +\infty)$ chứa đoạn $[1; e]$⁠. $f'(x) = 1 - \dfrac{2}{x} = \dfrac{x - 2}{x}$⁠; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in (1; e)$ (vì $e \approx 2{,}718$⁠).

Ba giá trị cần so sánh:

• $f(1) = 1$⁠;
• $f(2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0{,}614$⁠;
• $f(e) = e - 2 \approx 0{,}718$⁠.

Vậy $M = f(1) = 1$ và $m = f(2) = 2 - 2\ln 2$⁠, nên $M + m = 3 - 2\ln 2 \approx 1{,}6137$⁠. Đáp số: $1{,}61$⁠.

Chú ý: $f(e) = e - 2$ không phải giá trị lớn nhất dù là giá trị tại đầu mút phải; phải so sánh đủ ba số.

$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{3x + 2}{x - 2} = 3$ nên tiệm cận ngang là $y = 3$⁠.

$\lim\limits_{x \to 2^{+}} \dfrac{3x + 2}{x - 2} = +\infty$ (tử dần tới $8 > 0$⁠, mẫu dần tới $0$ và dương) nên tiệm cận đứng là $x = 2$⁠.

Tập xác định $\mathbb{R}\setminus\{1; -2\}$⁠. Với $x \ne 1$⁠:

• $\lim\limits_{x \to 1} y = \dfrac{2}{3}$ (hữu hạn) nên $x = 1$ không là tiệm cận đứng.
• $\lim\limits_{x \to -2^{+}} y = -\infty$ nên $x = -2$ là tiệm cận đứng.
• $\lim\limits_{x \to \pm\infty} y = 1$ nên $y = 1$ là tiệm cận ngang.

Vậy có 2 đường tiệm cận. Nếu chỉ nhìn mẫu có hai nghiệm rồi trả lời 3 đường là sai.

Chia đa thức: $x^2 + 2x + 3 = (x + 1)(x + 1) + 2$⁠, nên $y = x + 1 + \dfrac{2}{x + 1}$⁠.

• $\lim\limits_{x \to -1^{+}} y = +\infty$⁠, $\lim\limits_{x \to -1^{-}} y = -\infty$ ⇒ tiệm cận đứng $x = -1$⁠.
• $\lim\limits_{x \to \pm\infty}\left[y - (x + 1)\right] = \lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{2}{x + 1} = 0$ ⇒ tiệm cận xiên $y = x + 1$⁠. Không có tiệm cận ngang.

$y' = 1 - \dfrac{2}{(x + 1)^2} = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2}$⁠; $y' = 0 \Leftrightarrow x = -1 \pm \sqrt{2}$⁠.

Điểm cực đại của đồ thị $\left(-1 - \sqrt{2}; -2\sqrt{2}\right)$⁠, điểm cực tiểu $\left(-1 + \sqrt{2}; 2\sqrt{2}\right)$⁠. Giá trị cực đại nhỏ hơn giá trị cực tiểu — điều này không mâu thuẫn vì hai nhánh đồ thị nằm ở hai phía tiệm cận đứng.

a) Đúng. $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$⁠.

b) Đúng. $f'(x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$⁠.

c) Sai. $f'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x = 2$⁠, nên điểm cực tiểu là $x = 2$ và giá trị cực tiểu là $f(2) = 0$⁠. Số $2$ là điểm cực tiểu, không phải giá trị cực tiểu.

d) Đúng. $f(-1) = 0$⁠, $f(0) = 4$⁠, $f(2) = 0$⁠, $f(3) = 4$⁠, nên giá trị lớn nhất là $4$ (đạt tại $x = 0$ và $x = 3$⁠).

$N'(t) = -3t^2 + 30t = 3t(10 - t)$⁠; trên $(0; 12)$⁠, $N'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 10$⁠.

a) Đúng. $N'(t) > 0$ với mọi $t \in (0; 10)$⁠.

b) Đúng. Theo bảng biến thiên, $\max\limits_{[0; 12]} N(t) = N(10) = -1000 + 1500 = 500$⁠.

c) Sai. "Tăng nhanh nhất" là lúc tốc độ tăng $N'(t)$ lớn nhất. $N''(t) = -6t + 30$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $t = 5$⁠, nên $N'$ lớn nhất tại $t = 5$⁠, khi đó $N'(5) = 75$ (người/giờ).

d) Sai. $N(12) = -1728 + 2160 = 432$⁠, nên số khách giảm $500 - 432 = 68$ người.

Gọi cạnh đáy là $x$ (dm), chiều cao là $h$ (dm), $x > 0$⁠. Từ $x^2 h = 32$ suy ra $h = \dfrac{32}{x^2}$⁠.

Diện tích kính: $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \dfrac{128}{x}$ với $x > 0$⁠.

$S'(x) = 2x - \dfrac{128}{x^2} = \dfrac{2(x^3 - 64)}{x^2}$⁠; $S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 4$⁠. $S'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x = 4$ nên trên $(0; +\infty)$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 4$⁠:

khi đó bể cao $h = 2\,\text{dm}$⁠. Đáp số: $48$⁠.

Gọi bán kính đáy là $r$ (cm), chiều cao $h$ (cm), $r > 0$⁠. Từ $\pi r^2 h = 1000$ có $h = \dfrac{1000}{\pi r^2}$⁠.

Diện tích toàn phần (hai đáy và mặt xung quanh):

$S'(r) = 4\pi r - \dfrac{2000}{r^2} = \dfrac{4\pi r^3 - 2000}{r^2}$⁠; $S'(r) = 0 \Leftrightarrow r^3 = \dfrac{500}{\pi} \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}} \approx 5{,}419$⁠.

$S'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại giá trị này, nên đó là điểm $S$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $(0; +\infty)$⁠. Khi đó $h = \dfrac{1000}{\pi r^2} = \dfrac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$ — lon tốn ít vật liệu nhất có chiều cao bằng đường kính đáy.

Đáp số: $554$⁠. Nếu làm tròn $r \approx 5{,}4$ ngay từ đầu rồi thay vào $6\pi r^2$⁠, sẽ được $6\pi\cdot 5{,}4^2 \approx 549{,}7$⁠, tức $550$ — sai đáp số. Hãy giữ nguyên giá trị của $r$ trong máy tính đến bước cuối.

C. $y' = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = -2$ hoặc $x = 0$⁠. $y'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi $x$ đi qua $-2$ nên giá trị cực đại là $y(-2) = -8 + 12 + 2 = 6$⁠; $y'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x = 0$ nên giá trị cực tiểu là $y(0) = 2$ (phương án A). Phương án B là điểm cực đại $x = -2$ và phương án D là điểm cực tiểu $x = 0$⁠, không phải giá trị cực đại.

$y' = \dfrac{2\cdot(-1) - 3\cdot 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{-5}{(x - 1)^2} < 0$⁠, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$⁠.

Với $x \ne 1$⁠, $x \ne 2$⁠: $y = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 1)(x - 2)} = \dfrac{x + 2}{x - 1}$⁠. Tại $x = 2$ giới hạn hữu hạn (bằng $4$⁠) nên không có tiệm cận; tiệm cận đứng $x = 1$⁠, tiệm cận ngang $y = 1$⁠. Tổng cộng 2 đường.

$f'(x) = 2x - \dfrac{16}{x^2} = \dfrac{2(x^3 - 8)}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2$⁠. $f(1) = 17$⁠, $f(2) = 12$⁠, $f(4) = 20$⁠. Vậy $M = 20$⁠, $m = 12$⁠, $M - m = 8$⁠.

Chi phí trung bình $A(x) = \dfrac{C(x)}{x} = \dfrac{x}{10} + 30 + \dfrac{1000}{x}$⁠, $x > 0$⁠. $A'(x) = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1000}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 100$⁠; $A'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$⁠. Đáp số 100 sản phẩm, khi đó chi phí trung bình là $50$ nghìn đồng mỗi sản phẩm.

a) Đúng. $f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x}$⁠.

b) Sai. $f'(x) > 0$ khi $x < 1$⁠, nên trên $(0; 1)$ hàm số đồng biến; hàm số chỉ nghịch biến trên $(1; +\infty)$⁠.

c) Đúng. $f'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x = 1$ và đó là điểm tới hạn duy nhất, nên $\max\limits_{\mathbb{R}} f(x) = f(1) = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}368$⁠.

d) Sai. Trên $(-\infty; 1)$⁠, $f$ tăng từ $-\infty$ lên $\dfrac{1}{e} > 0{,}3$⁠; trên $(1; +\infty)$⁠, $f$ giảm từ $\dfrac{1}{e}$ về gần $0$ (vì $\lim\limits_{x \to +\infty} xe^{-x} = 0$⁠). Đường thẳng $y = 0{,}3$ cắt mỗi nhánh một lần: phương trình có 2 nghiệm.

Gọi $x$ (cm) là độ dài đoạn uốn hình vuông, $0 \le x \le 100$⁠. Tổng diện tích $S(x) = \left(\dfrac{x}{4}\right)^2 + \dfrac{(100 - x)^2}{4\pi}$⁠.

$S'(x) = \dfrac{x}{8} - \dfrac{100 - x}{2\pi} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{400}{\pi + 4} \approx 56{,}01$⁠. $S'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đây là điểm nhỏ nhất (giá trị tại hai đầu mút $S(0) \approx 795{,}8$ và $S(100) = 625$ đều lớn hơn).

$S_{\min} = \dfrac{2500}{\pi + 4} \approx 350{,}06$⁠. Đáp số: 350.

$v(t) = s'(t) = -3t^2 + 18t = 3t(6 - t) \ge 0$ trên $[0; 6]$ (xe chỉ chạy tiến). $v'(t) = -6t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 3$⁠. So sánh $v(0) = 0$⁠, $v(3) = 27$⁠, $v(6) = 0$⁠. Vận tốc lớn nhất là 27 cm/s (tại $t = 3$⁠).