Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Chỉ có $2x - 3y + 1 > 0$ (dạng $ax + by > c$ với $a = 2$⁠, $b = -3$⁠). Các bất phương trình còn lại chứa $x^2$⁠, $\dfrac{1}{x}$ hoặc tích $xy$ nên không phải bậc nhất.

Thay từng cặp vào vế trái:

Chỉ $(0; 0)$ là nghiệm. Chú ý $(1; 2)$ nằm trên đường thẳng bờ nên không thỏa mãn bất phương trình nghiêm ngặt.

Đường thẳng qua $A(2; 0)$ và $B(0; 4)$⁠: $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 2x + y = 4$⁠.

Thay $M(1; 3)$⁠: $2\cdot 1 + 3 = 5 > 4$⁠, nên miền chứa $M$ ứng với $2x + y > 4$⁠; không kể bờ nên dùng dấu $>$ (nghiêm ngặt).

Bất phương trình cần tìm: $2x + y > 4$⁠. Kiểm tra thêm: thay $O(0; 0)$ được $0 > 4$ (sai), khớp với hình — gốc $O$ không thuộc miền nghiệm.

• $(1; 2)$⁠: $x - y = -1 < 0$⁠, không thỏa.
• $(3; 1)$⁠: $4 \le 4$⁠; $2 \ge 0$⁠; $1 \ge 0$ — thỏa cả ba.
• $(2; 3)$⁠: $x + y = 5 > 4$⁠, không thỏa.
• $(-1; -2)$⁠: $y = -2 < 0$⁠, không thỏa.

Chỉ có $(3; 1)$ thuộc miền nghiệm (nằm trên bờ $x + y = 4$⁠, vẫn được tính vì dấu là $\le$⁠).

Thay $O$ vào $x + 2y \le 8$ và $3x + y \le 9$ đều thỏa, nên giữ phần chứa $O$⁠, trong góc phần tư thứ nhất (do $x \ge 0$⁠, $y \ge 0$⁠).

Các đỉnh: $O(0; 0)$⁠; giao của $3x + y = 9$ với $Ox$ là $(3; 0)$⁠; giao của $x + 2y = 8$ với $Oy$ là $(0; 4)$⁠; giao của hai đường bờ:

Miền nghiệm là tứ giác có bốn đỉnh $(0; 0)$⁠, $(3; 0)$⁠, $(2; 3)$⁠, $(0; 4)$⁠. Chú ý: giao của $x + 2y = 8$ với $Ox$ là $(8; 0)$ không phải đỉnh, vì $3\cdot 8 + 0 > 9$⁠.

Kẻ đường thẳng đứng qua đỉnh $(2; 3)$⁠, chia tứ giác thành hai phần:

• Hình thang vuông với hai đáy dài $4$ (trên trục $Oy$⁠) và $3$⁠, chiều cao $2$⁠: diện tích $\dfrac{(4 + 3)\cdot 2}{2} = 7$⁠.
• Tam giác vuông với hai cạnh góc vuông $3$ và $3 - 2 = 1$⁠: diện tích $\dfrac{3\cdot 1}{2} = 1{,}5$⁠.

Tổng diện tích $7 + 1{,}5 = 8{,}5$⁠. Ghi phiếu: 8,5.

Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh $(1; 1)$⁠, $(4; 1)$⁠, $(1; 4)$⁠; $F$ lần lượt bằng $5$⁠; $11$⁠; $14$⁠. Vậy $\max F = 14$ tại $(1; 4)$⁠, $\min F = 5$ tại $(1; 1)$⁠.

Thay $O(0; 0)$ vào $x + y \le 6$ và $2x + y \le 8$ đều thỏa mãn, nên miền nghiệm là phần chứa $O$⁠, nằm trong góc phần tư thứ nhất: tứ giác $OABC$ như hình.

Các đỉnh: $O(0; 0)$⁠; $A(4; 0)$ (giao $2x + y = 8$ với $Ox$⁠); $C(0; 6)$ (giao $x + y = 6$ với $Oy$⁠); $B$ là giao của $x + y = 6$ và $2x + y = 8$⁠: trừ vế được $x = 2$⁠, $y = 4$⁠.

Vậy $\max F = 12$ tại $(0; 6)$ và $\min F = 0$ tại $(0; 0)$⁠.

Tại các đỉnh $O$⁠, $A$⁠, $B$⁠, $C$⁠: $G$ lần lượt bằng $0$⁠; $4$⁠; $6$⁠; $6$⁠. Giá trị lớn nhất là $6$⁠, đạt tại hai đỉnh kề nhau $B(2; 4)$ và $C(0; 6)$⁠.

Cạnh $BC$ nằm trên đường thẳng $x + y = 6$⁠, nên mọi điểm của đoạn thẳng $BC$ đều cho $G = 6$⁠. Như vậy giá trị lớn nhất có thể đạt tại vô số điểm — nhưng luôn có ít nhất một đỉnh trong số đó, nên quy tắc "thử các đỉnh" vẫn cho đúng giá trị lớn nhất.

a) Đúng. $1 \ge 0$⁠, $1 \ge 0$⁠, $1 + 1 = 2 \le 6$⁠, $2 + 1 = 3 \le 8$⁠.

b) Đúng. Tứ giác $OABC$ với bốn đỉnh $(0; 0)$⁠, $(4; 0)$⁠, $(2; 4)$⁠, $(0; 6)$⁠.

c) Sai. $F$ đạt lớn nhất bằng $12$ tại $(0; 6)$⁠; số $10$ là giá trị tại $(2; 4)$ — lỗi khi chỉ thử giao điểm của hai đường "khó" mà bỏ qua các đỉnh trên trục.

d) Đúng. $G$ tại bốn đỉnh lần lượt bằng $0$⁠; $12$⁠; $2$⁠; $-6$⁠, nhỏ nhất là $-6$ tại $(0; 6)$⁠.

• Tổng tiền không quá 600 nghìn đồng: $50x + 30y \le 600 \Leftrightarrow 5x + 3y \le 60$⁠.
• Ít nhất 3 kg cam: $y \ge 3$⁠.
• Khối lượng không âm: $x \ge 0$⁠.

Hệ: $\begin{cases} 5x + 3y \le 60 \\ y \ge 3 \\ x \ge 0 \end{cases}$ (điều kiện $y \ge 0$ đã nằm trong $y \ge 3$⁠).

Gọi $x$⁠, $y$ là số thùng loại A, loại B thư viện mua (⁠$x$⁠, $y$ nguyên, $0 \le x \le 6$⁠, $0 \le y \le 5$⁠). Ràng buộc:

• Đủ truyện: $40x + 20y \ge 160 \Leftrightarrow 2x + y \ge 8$⁠;
• Đủ sách tham khảo: $10x + 20y \ge 100 \Leftrightarrow x + 2y \ge 10$⁠.

Chi phí cần nhỏ nhất: $F = 5x + 3{,}5y$ (triệu đồng).

Các đỉnh của miền nghiệm: $\left(\dfrac{3}{2}; 5\right)$ (giao của $2x + y = 8$ và $y = 5$⁠), $(2; 4)$ (giao của hai đường bờ), $(6; 2)$ (giao của $x + 2y = 10$ và $x = 6$⁠), $(6; 5)$⁠, với $F$ lần lượt bằng $25$⁠; $24$⁠; $37$⁠; $47{,}5$⁠.

$F$ nhỏ nhất bằng $24$ tại $(2; 4)$⁠, đây cũng là cặp số nguyên nên thỏa mãn yêu cầu. Mua 2 thùng loại A và 4 thùng loại B (được $80 + 80 = 160$ cuốn truyện và $20 + 80 = 100$ cuốn sách tham khảo), chi phí thấp nhất là $24$ triệu đồng. Ghi phiếu: 24.

Gọi $x$⁠, $y$ là số sản phẩm A, B mỗi ngày (⁠$x$⁠, $y$ nguyên không âm):

• giờ máy cắt: $x + 2y \le 9$⁠;
• giờ công lắp ráp: $3x + 2y \le 14$⁠;
• tiền lãi (nghìn đồng): $F = 400x + 500y$⁠.

Các đỉnh: $(0; 0)$⁠, $\left(\dfrac{14}{3}; 0\right)$⁠, $(0; 4{,}5)$ và giao của hai đường bờ: trừ vế được $2x = 5$⁠, nên $(2{,}5; 3{,}25)$⁠. $F$ tại các đỉnh lần lượt bằng $0$⁠; $\approx 1866{,}7$⁠; $2250$⁠; $2625$⁠.

Đỉnh tối ưu $(2{,}5; 3{,}25)$ không nguyên (dạng mở rộng: SGK chỉ yêu cầu thử các đỉnh). Đừng làm tròn thành $(2; 3)$ rồi dừng: điểm nguyên gần đỉnh nhất chưa chắc tốt nhất.

Chứng minh $2400$ là lớn nhất:

• Chặn trên: mọi điểm của miền nghiệm, kể cả điểm nguyên, có $F \le 2625$⁠. Với $x$⁠, $y$ nguyên, $F = 400x + 500y$ là bội của $100$⁠, nên $F \le 2600$⁠.
• Loại $2600$ và $2500$⁠: $F = 2600 \Leftrightarrow 4x + 5y = 26$⁠, nghiệm tự nhiên duy nhất là $(4; 2)$⁠, không thỏa $3x + 2y \le 14$ (vì $12 + 4 = 16$⁠). $F = 2500 \Leftrightarrow 4x + 5y = 25$⁠, nghiệm tự nhiên là $(0; 5)$ và $(5; 1)$⁠; điểm $(0; 5)$ vi phạm $x + 2y \le 9$⁠, điểm $(5; 1)$ vi phạm $3x + 2y \le 14$⁠.
• Chỉ ra điểm đạt $2400$⁠: $(1; 4)$ thỏa cả hai ràng buộc (⁠$1 + 8 = 9 \le 9$⁠; $3 + 8 = 11 \le 14$⁠) và cho $F = 400 + 2000 = 2400$⁠.

Lãi lớn nhất là $2400$ nghìn đồng khi làm 1 sản phẩm A và 4 sản phẩm B. Ghi phiếu: 2400.

Hệ ràng buộc: $\begin{cases} 0{,}2x + 0{,}3y \le 6 \\ x + 0{,}5y \le 20 \\ x \ge 0, \; y \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x + 3y \le 60 \\ 2x + y \le 40 \\ x \ge 0, \; y \ge 0 \end{cases}$⁠; tiền lãi $F = 30x + 40y$ (nghìn đồng).

a) Đúng. Lượng sáp dùng là $0{,}2x + 0{,}3y$ (kg), không quá $6\,\text{kg}$⁠.

b) Sai. Với $(10; 15)$⁠: $2\cdot 10 + 3\cdot 15 = 65 > 60$⁠, tức cần $0{,}2\cdot 10 + 0{,}3\cdot 15 = 6{,}5\,\text{kg}$ sáp, vượt lượng sáp có.

c) Đúng. Các đỉnh: $(0; 0)$⁠, $(20; 0)$⁠, $(0; 20)$ và giao của hai đường bờ — trừ vế được $2y = 20$⁠, nên $y = 10$⁠, $x = 15$⁠.

d) Sai. $F$ tại các đỉnh: $(0; 0) \to 0$⁠; $(20; 0) \to 600$⁠; $(15; 10) \to 850$⁠; $(0; 20) \to 800$⁠. Lãi lớn nhất là 850 nghìn đồng khi làm 15 hộp loại I và 10 hộp loại II; 800 nghìn đồng chỉ là giá trị tại đỉnh $(0; 20)$⁠.

$3\cdot 2 + 2\cdot(-1) = 4 < 5$ nên không phải nghiệm.

Thay $O(0; 0)$⁠: $0 \le 2$ đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $x + y = 2$ chứa $O$⁠; bất phương trình không nghiêm ngặt nên miền nghiệm chứa cả đường thẳng bờ.

$8x + 5y \le 100$⁠. Với $(7; 9)$⁠: $56 + 45 = 101 > 100$⁠, nên không mua được.

$(0; 0)$⁠: $0 + 0 = 0 < 1$⁠, loại. $(2; 1)$⁠: $1 \le 2$ và $3 \ge 1$⁠, thỏa. $(3; 0)$⁠: $3 > 2$⁠, loại. Chỉ có $(2; 1)$⁠.

Bờ: $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{-2} = 1 \Leftrightarrow 2x - 3y = 6$⁠. Gốc $O$ cho $0 \le 6$⁠, kể cả bờ nên bất phương trình là $2x - 3y \le 6$⁠.

Miền nghiệm là tam giác có đỉnh $(0; 0)$⁠, $(3; 0)$⁠, $(0; 3)$⁠; $F$ lần lượt bằng $0$⁠; $3$⁠; $-3$⁠. Vậy $\max F = 3$⁠, $\min F = -3$⁠.

Đỉnh $(1; 2)$⁠, $(4; 2)$⁠, $(1; 5)$⁠; $F$ lần lượt bằng $5$⁠; $14$⁠; $8$⁠. Giá trị nhỏ nhất là $5$⁠.

Tam giác vuông có đỉnh $(0; 0)$⁠, $(3; 0)$⁠, $(0; 6)$⁠: diện tích $\dfrac{3\cdot 6}{2} = 9$⁠.

Trên miền nghiệm là đa giác lồi, các đường mức $ax + by = k$ là những đường thẳng song song; khi tịnh tiến đường mức theo hướng $F$ tăng (hoặc giảm), điểm cuối cùng còn chạm miền nghiệm luôn là một đỉnh (hoặc cả một cạnh chứa đỉnh đó).

Gọi $x$⁠, $y$ là số thợ loại 1, loại 2 (nguyên, $0 \le x, y \le 15$⁠): $6x + 3y \ge 60 \Leftrightarrow 2x + y \ge 20$⁠; $2x + 4y \ge 40 \Leftrightarrow x + 2y \ge 20$⁠; $F = 400x + 350y$⁠.

Các đỉnh của miền nghiệm: $\left(\dfrac{20}{3}; \dfrac{20}{3}\right)$⁠, $(2{,}5; 15)$⁠, $(15; 15)$⁠, $(15; 2{,}5)$⁠, với $F$ lần lượt bằng $5000$⁠; $6250$⁠; $11\,250$⁠; $6875$⁠. Đỉnh tốt nhất $\left(\dfrac{20}{3}; \dfrac{20}{3}\right)$ không nguyên, nên phải lập luận trên các điểm nguyên. Chia hai trường hợp theo $x$⁠:

• Nếu $x \le 6$⁠: từ $2x + y \ge 20$ có $y \ge 20 - 2x$⁠, nên $F \ge 400x + 350(20 - 2x) = 7000 - 300x \ge 7000 - 1800 = 5200$⁠. Dấu bằng chỉ xảy ra khi $x = 6$⁠, $y = 8$⁠; điểm $(6; 8)$ thỏa mọi ràng buộc (⁠$12 + 8 = 20$⁠; $6 + 16 = 22 \ge 20$⁠).
• Nếu $x \ge 7$⁠: từ $x + 2y \ge 20$ có $y \ge \dfrac{20 - x}{2}$⁠, nên $F \ge 400x + 175(20 - x) = 3500 + 225x$⁠. Với $x \ge 9$ thì $F \ge 5525$⁠. Với $x = 7$ thì $y \ge 6{,}5$⁠, mà $y$ nguyên nên $y \ge 7$ và $F \ge 2800 + 2450 = 5250$⁠. Với $x = 8$ thì $y \ge 6$ và $F \ge 3200 + 2100 = 5300$⁠.

Vậy mọi phương án đều có $F \ge 5200$⁠, và $F = 5200$ đạt tại $(6; 8)$⁠. Tiền công thấp nhất là 5200 nghìn đồng (6 thợ loại 1, 8 thợ loại 2).